1) Двигатель подъёмного крана мощностью 4 кВт поднимает груз на высоту 12 м за 1мин. 40 с. Найти массу груза, если к.п.д. установки 60%. 2)На концах рычага действуют силы 8 Н и 20 Н. Где находится точка опоры, если рычаг в равно-весии. Длина рычага 160 см.

Решение:

1. Найдём массу груза:

1. Переведём мощность и время в систему СИ:




• Мощность \( P = 4 \text{ кВт} = 4000 \text{ Вт} \)


• Время \( t = 1 \text{ мин.} 40 \text{ с} = 60 + 40 = 100 \text{ с} \)




2. Рассчитаем полезную работу, совершаемую при подъёме груза. Работа \( A_{\text{пол}} = mgh \), где \( m \) — масса груза, \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \) — ускорение свободного падения, \( h = 12 \text{ м} \) — высота подъёма.


3. Рассчитаем потребляемую мощность \( P_{\text{потр}} \). Мощность — это отношение работы ко времени: \( P_{\text{потр}} = \frac{A_{\text{потр}}}{t} \).


4. К.п.д. установки равен отношению полезной работы к затраченной, умноженному на 100%: \( \text{КПД} = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}} \cdot 100 \% \).


5. Также к.п.д. можно выразить через мощность: \( \text{КПД} = \frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{потр}}} \cdot 100 \% \).


6. Из формулы к.п.д. найдём потребляемую мощность: \( P_{\text{потр}} = \frac{P_{\text{пол}}}{\text{КПД}} \).


7. Подставим значение потребляемой мощности: \( 4000 \text{ Вт} = \frac{P_{\text{пол}}}{0.6} \).


8. Найдем полезную мощность: \( P_{\text{пол}} = 4000 \text{ Вт} \cdot 0.6 = 2400 \text{ Вт} \).


9. Теперь найдём массу груза, используя формулу полезной мощности: \( P_{\text{пол}} = \frac{A_{\text{пол}}}{t} = \frac{mgh}{t} \).


10. Выразим массу: \( m = \frac{P_{\text{пол}} \cdot t}{gh} \).


11. Подставим значения: \( m = \frac{2400 \text{ Вт} \cdot 100 \text{ с}}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 12 \text{ м}} = \frac{240000}{120} = 2000 \text{ кг} \).




2. Найдем положение точки опоры:





1. Условие равновесия рычага: \( F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2 \), где \( F_1 \) и \( F_2 \) — силы, действующие на концах рычага, \( l_1 \) и \( l_2 \) — плечи этих сил.


2. Пусть \( F_1 = 8 \text{ Н} \) и \( F_2 = 20 \text{ Н} \).


3. Длина рычага \( L = l_1 + l_2 = 160 \text{ см} \).


4. Выразим плечи через силу: \( l_1 = \frac{F_2 \cdot l_2}{F_1} \).


5. Подставим в формулу длины: \( \frac{F_2 \cdot l_2}{F_1} + l_2 = L \).


6. Вынесем \( l_2 \) за скобки: \( l_2 \left( \frac{F_2}{F_1} + 1 \right) = L \).


7. Рассчитаем \( l_2 \): \( l_2 \left( \frac{20}{8} + 1 \right) = 160 \text{ см} \).


8. \( l_2 \left( 2.5 + 1 \right) = 160 \text{ см} \).


9. \( l_2 \cdot 3.5 = 160 \text{ см} \).


10. \( l_2 = \frac{160}{3.5} \approx 45.71 \text{ см} \).


11. Рассчитаем \( l_1 \): \( l_1 = L - l_2 = 160 - 45.71 \approx 114.29 \text{ см} \).


12. Проверим условие равновесия: \( 8 \text{ Н} \cdot 114.29 \text{ см} \approx 914.32 \text{ Н} \cdot \text{см} \) и \( 20 \text{ Н} \cdot 45.71 \text{ см} \approx 914.2 \text{ Н} \cdot \text{см} \). Значения близки.





Ответ: Масса груза 2000 кг. Точка опоры находится на расстоянии примерно 114.29 см от силы 8 Н и 45.71 см от силы 20 Н.