1. (ЕГЭ №15) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC на рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 1 : 5. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC. а) Постройте сечение плоскостью α. б) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

Пусть плоскость α пересекает рёбра AC и SB в точках L и N соответственно.

Так как KL параллельна BC, из подобия треугольников AKL и ABC получаем:

AK/AB = AL/AC. Из условия AK:KB = 1:5, поэтому AK/AB = 1/6 и AL/AC = 1/6.

Также MN параллельна BC. Из подобия треугольников SMN и SBC следует SM/SC = SN/SB. Поскольку SM:MC = 1:5, получаем SM/SC = 1/6 и SN/SB = 1/6.

Точки K и N делят рёбра AB и SB в одинаковом отношении от вершин A и S. Поэтому по теореме о средней линии в треугольнике ASB прямая KN параллельна SA. Аналогично, LM параллельна SA в треугольнике ASC.

Сечение — четырёхугольник K–N–M–L: его стороны лежат соответственно в гранях SAB, SBC, SAC и ABC. При этом KN и LM параллельны SA, а KL и NM параллельны BC.

Плоскость α содержит KN, параллельную SA. При этом SA не лежит в α: плоскости SAB и α различны и пересекаются по KN, а SA не совпадает с KN. Следовательно, SA параллельна плоскости α.

Ответ: сечение — четырёхугольник KNML; α ∥ SA.