Контрольные задания > 1. Если в Д АBC
Вопрос:

1. Если в Д АBC <A=30°, <B=90°, AC= 20 см, то сторона ВС равна а) 10 см; б) 20 см; в) 40 см. 2.. Если в Д АBC <A=90°, AB = AC, то a) < B = 55°; б) < C = 45°; в) <B = 650. 3. По чертежу найти <ВЕА, СЕ, АС, если ВЕ = 6 см.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. 1. В прямоугольном треугольнике ABC:

    • Дано:

      • \[ \angle A = 30^{\circ} \]
      • \[ \angle B = 90^{\circ} \]
      • \[ AC = 20 \text{ см} \]

      Найти:

      • \[ BC \]

      Решение:

      В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае BC - катет, противолежащий углу A (30°), а AC - гипотенуза.

      Следовательно:

      \[ BC = \frac{1}{2} AC \]

      \[ BC = \frac{1}{2} \times 20 \text{ см} = 10 \text{ см} \]

    • Ответ: а) 10 см
  2. 2. В прямоугольном треугольнике ABC:

    • Дано:

      • \[ \angle A = 90^{\circ} \]
      • \[ AB = AC \]

      Найти:

      • \[ \angle B, \angle C \]

      Решение:

      Треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = AC. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть \[ \angle B = \angle C \]

      Сумма углов в любом треугольнике равна 180°:

      \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

      \[ 90^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ} \]

      \[ 2\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} \]

      \[ 2\angle B = 90^{\circ} \]

      \[ \angle B = 45^{\circ} \]

      Следовательно, \[ \angle C = 45^{\circ} \]

    • Ответ: б) < C = 45° (так как
  3. 3.

    Дано:

    • \[ \triangle ABC \text{ (прямоугольный, } \angle C = 90^{\circ}) \]
    • \[ \angle BAC = 30^{\circ} \]
    • \[ E \text{ - точка на } AC \]
    • \[ BE = 6 \text{ см} \]

    Найти:

    • \[ \angle BEA \]
    • \[ CE \]
    • \[ AC \]

    Решение:

    1. Находим углы в riangle ABC:
      • \[ \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]
    2. Находим углы и стороны в riangle BCE:
      • \[ \angle BCE = 90^{\circ} \]
      • \[ BE = 6 \text{ см} \]
      • \[ \angle CBE = \angle ABC - \angle ABE = 60^{\circ} - \angle ABE \]
      • \[ \angle BEC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle CBE = 90^{\circ} - (60^{\circ} - \angle ABE) = 30^{\circ} + \angle ABE \]
      • \[ CE = BE \cos(\angle CBE) = 6 \cos(60^{\circ} - \angle ABE) \]
      • \[ BC = BE \sin(\angle CBE) = 6 \sin(60^{\circ} - \angle ABE) \]
    3. Находим углы и стороны в riangle ABE:
      • \[ \angle BAE = 30^{\circ} \]
      • \[ BE = 6 \text{ см} \]
      • \[ \angle BEA \text{ - искомый угол} \]
      • \[ AB = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)} = \frac{6}{\sin(30^{\circ})} = \frac{6}{0.5} = 12 \text{ см} \]
      • \[ AE = \frac{BE}{\tan(\angle BAE)} = \frac{6}{\tan(30^{\circ})} = \frac{6}{1/\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ см} \approx 10.39 \text{ см} \]
    4. Находим ∠BEA:
      • \[ \angle BEA = 180^{\circ} - \angle BAE - \angle ABE \]
      • \[ \angle ABE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BEA \]
      • \[ \angle BEA = 180^{\circ} - 30^{\circ} - \angle ABE \]
      • \[ \angle BEA = 150^{\circ} - \angle ABE \]

      Из ∆ABE, по теореме синусов:

      \[ \frac{BE}{\sin(30^{\circ})} = \frac{AB}{\sin(\angle BEA)} \]

      \[ \frac{6}{0.5} = \frac{12}{\sin(\angle BEA)} \]

      \[ 12 = \frac{12}{\sin(\angle BEA)} \]

      \[ \sin(\angle BEA) = 1 \]

      \[ \angle BEA = 90^{\circ} \]

    5. Находим CE:
      • \[ AC = AE + EC \]
      • \[ AC = 20 \text{ см} \text{ (из задачи 1)} \text{ - ОШИБКА, AC - гипотенуза, НЕ 20 см]} \]
      • Пересчитываем AC из ∆ABC:
        • \[ AC = \frac{BC}{\sin(30^{\circ})} \]
        • Находим BC из ∆BCE:
          • \[ \angle CBE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \text{ (в ∆BCE)} \text{ - ОШИБКА, \angle CBE не 60)} \]
      • Пересчитываем ∆ABE:
        • \[ \angle BAE = 30^{\circ} \]
        • \[ BE = 6 \text{ см} \]
        • \[ \angle BEA = 90^{\circ} \text{ (как найдено выше)} \]
        • \[ \angle ABE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \text{ (в ∆ABE)} \]
        • \[ AB = \frac{BE}{\sin(30^{\circ})} = \frac{6}{0.5} = 12 \text{ см} \]
        • \[ AE = AB \cos(30^{\circ}) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \approx 10.39 \text{ см} \]
      • Находим AC:
        • \[ AC = AE + EC \]
        • Находим BC:
          • \[ BC = AB \sin(30^{\circ}) = 12 \times 0.5 = 6 \text{ см} \]
          • \[ AC = \frac{BC}{\tan(30^{\circ})} = \frac{6}{1/\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ см} \approx 10.39 \text{ см} \text{ (это AC)} \]
          • В ∆ABC:
          • \[ AB = AC / \cos(30) = 6\sqrt{3} / (\sqrt{3}/2) = 12 \text{ см} \]
          • \[ BC = AC \tan(30) = 6\sqrt{3} * (1/\sqrt{3}) = 6 \text{ см} \]
        • Находим CE:
          • \[ AC = AE + EC \]
          • \[ 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + EC \]
          • \[ EC = 0 \text{ - ОШИБКА} \]
        • Переоценка:
          • ∆ABE:
          • ∆CBE:
          • ∆ABC:
          • AC - катет, BC - катет, AB - гипотенуза.
          • Попробуем вариант а)
          • Если AC=9, BC = AC tan(30) = 9 * (1/sqrt(3)) = 3√3 ≈ 5.2.
          • AB = AC / cos(30) = 9 / (sqrt(3)/2) = 18/sqrt(3) = 6√3 ≈ 10.39.
          • В ∆BCE: CE=3. BC = 3√3.
          • BE = sqrt(BC^2 + CE^2) = sqrt((3√3)^2 + 3^2) = sqrt(27+9) = sqrt(36) = 6.
          • Это подходит!
          • Теперь проверим
          • В ∆ABE: AB=6√3, AE = AC - CE = 9 - 3 = 6. BE=6.
          • ∆ABE - равнобедренный (AE=BE=6).
          • ∆BAE = 30.
          • ∆ABE = ∆BAE = 30.
          • ∆BEA = 180 - (30+30) = 120.
          • Все совпало!

    Ответ: а) 120°; 3см; 9см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю