1. Ф.И. Найти производную: e^{-x} + \(\sqrt[3]{x}\)

Задание 1. Найти производную

Нужно найти производную от функции \( y = e^{-x} + \sqrt[3]{x} \).

Это задача на дифференцирование суммы функций и степенной функции.

Шаг 1: Дифференцируем первое слагаемое \( e^{-x} \).

Производная от \( e^u \) равна \( e^u \cdot u' \). В нашем случае \( u = -x \), поэтому \( u' = -1 \).

Производная от \( e^{-x} \) равна \( e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} \).

Шаг 2: Дифференцируем второе слагаемое \( \sqrt[3]{x} \).

Сначала представим корень в виде степени: \( \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \).

Производная от \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \).

В нашем случае \( n = \frac{1}{3} \). Производная от \( x^{\frac{1}{3}} \) равна \( \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} \).

Это можно записать как \( \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \).

Шаг 3: Складываем производные.

Общая производная функции \( y = e^{-x} + \sqrt[3]{x} \) равна сумме производных её слагаемых:

\[ y' = -e^{-x} + \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \]

Или в другом виде:

\[ y' = -e^{-x} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \]

Ответ: Производная функции равна \( -e^{-x} + \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \).