1) f(x) = x^2 + 16/x^2 на промежутке (0; +∞);

Решение:

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2} \) на промежутке \( (0; +\infty) \).

Сначала найдем производную функции:

\[ f'(x) = \left( x^2 + \frac{16}{x^2} \right)' = 2x + 16 \cdot (-2)x^{-3} = 2x - \frac{32}{x^3} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 2x - \frac{32}{x^3} = 0 \]

\[ 2x = \frac{32}{x^3} \]

\[ 2x^4 = 32 \]

\[ x^4 = 16 \]

\[ x = \pm 2 \]

Так как мы рассматриваем промежуток \( (0; +\infty) \), то критическая точка одна: \( x = 2 \).

Определим знак производной на интервалах:

• При \( 0 < x < 2 \), например, при \( x = 1 \): \( f'(1) = 2(1) - \frac{32}{1^3} = 2 - 32 = -30 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 2 \), например, при \( x = 3 \): \( f'(3) = 2(3) - \frac{32}{3^3} = 6 - \frac{32}{27} = \frac{162 - 32}{27} = \frac{130}{27} > 0 \). Функция возрастает.

Следовательно, при \( x = 2 \) функция имеет наименьшее значение.

Найдем это значение:

\[ f(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8 \]

На промежутке \( (0; +\infty) \) функция стремится к \( +\infty \) при \( x \to 0^+ \) и при \( x \to +\infty \).

Таким образом, наименьшее значение функции равно 8.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 8. Наибольшего значения не существует.