1 f(x) = x^3 - 12x + 9

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x + 9) \]
   \[ f'(x) = 3x^2 - 12 \]
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
   \[ 3x^2 - 12 = 0 \]
   \[ 3x^2 = 12 \]
   \[ x^2 = 4 \]
   \[ x = \pm 2 \]
3. Вычислим значения функции в критических точках:
   Для x = 2:
   \[ f(2) = 2^3 - 12(2) + 9 \]
   \[ f(2) = 8 - 24 + 9 \]
   \[ f(2) = -7 \]
   
   Для x = -2:
   \[ f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 9 \]
   \[ f(-2) = -8 + 24 + 9 \]
   \[ f(-2) = 25 \]
4. Уравнение касательной в точке (x₀, f(x₀)) имеет вид:
   \[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]
   В данном случае, кажется, что последнее уравнение \( y = x^2 - 4x + 1 \) является отдельной задачей или предположением, не связанным напрямую с вычислением касательной к функции \( f(x) \) в критических точках. Если бы требовалось найти уравнение касательной в одной из критических точек, например, в точке x = 2 (где f(2) = -7 и f'(2) = 0), то уравнение касательной было бы:
   \[ y - (-7) = 0(x - 2) \]
   \[ y + 7 = 0 \]
   \[ y = -7 \]
   
   Если бы мы хотели найти уравнение касательной, проходящей через точку (2, -7) и имеющей угловой коэффициент 4 (что соответствует значению \(x^2 - 4x + 1 \) при x=2, но это не является производной \( f(x) \)), то:
   \[ y - (-7) = 4(x - 2) \]
   \[ y + 7 = 4x - 8 \]
   \[ y = 4x - 15 \]
   
   Учитывая, что последняя строка в исходном изображении \( y = x^2 - 4x + 1 \), возможно, имелось в виду найти касательную к другой функции или исследовать эту функцию. Однако, на основе предоставленного \( f(x) \) и вычислений, \( y = x^2 - 4x + 1 \) не является касательной к \( f(x) \) в указанных точках.

Ответ:

• Критические точки: x = 2, x = -2.
• Значения функции в критических точках: f(2) = -7, f(-2) = 25.
• Уравнение \( y = x^2 - 4x + 1 \) не является касательной к данной функции \( f(x) \) в вычисленных критических точках.