1. Find the derivative of e^(-0.5x) + 1/x^5. 2. Find the derivative of cos(sqrt(x)). 3. Find the derivative of 2ln(x + 1). 4. Find the derivative of e^cosx. 5. Find the derivative of x^2 * e^(2x). 6. Find the derivative of (2^x - log2(x)) / (x ln 2).

Задание 1. Производная от \( e^{-0.5x} + \frac{1}{x^5} \)

Чтобы найти производную этой функции, будем использовать правила дифференцирования.

Производная от \( e^{kx} \) равна \( k · e^{kx} \). В нашем случае \( k = -0.5 \).

Производная от \( x^n \) равна \( n · x^{n-1} \). Функция \( \frac{1}{x^5} \) может быть записана как \( x^{-5} \).

Шаг 1: Находим производную от \( e^{-0.5x} \).

\[ \frac{d}{dx}(e^{-0.5x}) = -0.5 · e^{-0.5x} \]

Шаг 2: Находим производную от \( x^{-5} \).

\[ \frac{d}{dx}(x^{-5}) = -5 · x^{-5-1} = -5 · x^{-6} = -\frac{5}{x^6} \]

Шаг 3: Складываем производные.

\[ \frac{d}{dx}(e^{-0.5x} + x^{-5}) = -0.5 · e^{-0.5x} - \frac{5}{x^6} \]

Ответ: \( -0.5e^{-0.5x} - \frac{5}{x^6} \)

Задание 2. Производная от \( · \cos(\sqrt{x}) \)

Для нахождения производной \( · · · · · · \cos(\sqrt{x}) \) нам понадобятся правила дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Шаг 1: Найдем производную от \( · \cos(u) \), где \( u = · \sqrt{x} \).

\[ \frac{d}{du}(· · · · · · · · · · (u)) = -· · · · · · · · · · (u) \]

Шаг 2: Найдем производную от \( u = · \sqrt{x} \).

\( · · · \sqrt{x} \) можно записать как \( x^{\frac{1}{2}} \).

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2···} \]

Шаг 3: Применим цепное правило: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} · \frac{du}{dx} \).

\[ \frac{d}{dx}(· · · · · · · · · · (· \sqrt{x})) = -· · · · · · · · · · (· \sqrt{x}) · \frac{1}{2···}} \]

Ответ: \( -\frac{· · · · · · · · · · (· \sqrt{x})}{2···}} \)

Задание 3. Производная от \( 2··· · (x + 1) \)

Чтобы найти производную функции \( 2··· · (x + 1) \), используем правило дифференцирования логарифмической функции и цепное правило.

Шаг 1: Вынесем константу 2 за знак производной.

\[ \frac{d}{dx}(2··· · (x + 1)) = 2 · \frac{d}{dx}(· · · · (x + 1)) \]

Шаг 2: Найдем производную от \( · · · · (u) \), где \( u = x + 1 \). Производная от \( · · · · (u) \) равна \( \frac{1}{u} \).

\[ \frac{d}{du}(· · · · (u)) = \frac{1}{u} \]

Шаг 3: Найдем производную от \( u = x + 1 \).

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \]

Шаг 4: Применим цепное правило: \( \frac{dy}{dx} = 2 · \frac{1}{u} · \frac{du}{dx} \).

\[ \frac{d}{dx}(2··· · (x + 1)) = 2 · \frac{1}{x+1} · 1 = \frac{2}{x+1} \]

Ответ: \( \frac{2}{x+1} \)

Задание 4. Производная от \( e^{· · ·} \)

Для нахождения производной \( e^{· · ·} \) используем цепное правило.

Пусть \( y = e^{· · ·} \). Пусть \( u = · · · \).

Шаг 1: Находим производную \( \frac{dy}{du} \).

\[ \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(e^u) = e^u \]

Шаг 2: Находим производную \( \frac{du}{dx} \).

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(· · ·) \]

Шаг 3: Применяем цепное правило \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} · \frac{du}{dx} \).

\[ \frac{d}{dx}(e^{· · ·}) = e^{· · ·} · \frac{d}{dx}(· · ·) \]

Ответ: \( e^{· · ·} · \frac{d}{dx}(· · ·) \) (производная будет зависеть от производной от \( · · · \).)

Задание 5. Производная от \( x^2 · e^{2x} \)

Для нахождения производной этого произведения используем правило произведения: \( (f · g)' = f' · g + f · g' \).

Пусть \( f(x) = x^2 \) и \( g(x) = e^{2x} \).

Шаг 1: Найдем производную \( f'(x) \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]

Шаг 2: Найдем производную \( g'(x) \) с помощью цепного правила.

\[ g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2 · e^{2x} \]

Шаг 3: Применим правило произведения.

\[ (x^2 · e^{2x})' = (2x) · (e^{2x}) + (x^2) · (2 · e^{2x}) \]

Шаг 4: Упростим выражение.

\[ = 2xe^{2x} + 2x^2e^{2x} \]

Можно вынести общий множитель \( 2xe^{2x} \):

\[ = 2xe^{2x}(1 + x) \]

Ответ: \( 2xe^{2x} + 2x^2e^{2x} \) или \( 2xe^{2x}(1 + x) \)

Задание 6. Производная от \( \frac{2^x - · · · · · · x}{x · · · 2} \)

Для нахождения производной этой дроби используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \).

Пусть \( f(x) = 2^x - · · · · · · x \) и \( g(x) = x · · · 2 \).

Шаг 1: Найдем производную \( f'(x) \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2^x - · · · · · · x) = \frac{d}{dx}(2^x) - \frac{d}{dx}(· · · · · · x) \]

Производная от \( a^x \) равна \( a^x · · · a \). Производная от \( · · · · · · x \) (логарифм по основанию 2) равна \( \frac{1}{x · · · 2} \).

\[ f'(x) = 2^x · · · 2 - \frac{1}{x · · · 2} \]

Шаг 2: Найдем производную \( g'(x) \).

\[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x · · · 2) = · · · 2 \]

Шаг 3: Применим правило частного.

\[ (\frac{f}{g})' = \frac{(2^x · · · 2 - \frac{1}{x · · · 2})(x · · · 2) - (2^x - · · · · · · x)(· · · 2)}{(x · · · 2)^2} \]

Ответ: \( \frac{(2^x · · · 2 - \frac{1}{x · · · 2})(x · · · 2) - (2^x - · · · · · · x)(· · · 2)}{(x · · · 2)^2} \)