1. Формула Ньютона-Лейбница (доказать). Показать применение на примере $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$ 2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов (сформулировать). Показать применение на примере $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{13^n} $$ 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми xy=3, x+y=4 4. Найти частное решение или частный интеграл дифференциального уравнения $$ y' - 3y = e^{-2x}, y(0) = 0 $$ 5. Найти область сходимости степенного ряда $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(x-2)^n}{n^2} $$

Question

Вопрос:

1. Формула Ньютона-Лейбница (доказать). Показать применение на примере $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$ 2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов (сформулировать). Показать применение на примере $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{13^n} $$ 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми xy=3, x+y=4 4. Найти частное решение или частный интеграл дифференциального уравнения $$ y' - 3y = e^{-2x}, y(0) = 0 $$ 5. Найти область сходимости степенного ряда $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(x-2)^n}{n^2} $$

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

1. Формула Ньютона-Лейбница

Формулировка: Если $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $ на отрезке $ [a, b] $, то определённый интеграл от $ f(x) $ на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах отрезка:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

Пример применения:

Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx $.

Первообразная для $ f(x) = \frac{1}{x} $ есть $ F(x) = \ln|x| $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = \ln|e| - \ln|1| = 1 - 0 = 1 \]

2. Признак Даламбера

Сформулировка: Для знакоположительного ряда $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ если существует предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \]

то:

Если $ q < 1 $, ряд сходится.
Если $ q > 1 $, ряд расходится.
Если $ q = 1 $, признак не даёт ответа.

Пример применения:

Исследуем ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{13^n} $.

Здесь $ a_n = \frac{n!}{13^n} $, $ a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{13^{n+1}} $.

Вычисляем предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)!}{13^{n+1}}}{\frac{n!}{13^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{13^{n+1}} \cdot \frac{13^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n!}{13 \cdot 13^n} \cdot \frac{13^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{13} = \infty \]

Так как $ q = \infty > 1 $, ряд расходится.

3. Площадь фигуры

Фигура ограничена кривыми $ xy = 3 $ (т.е. $ y = \frac{3}{x} $) и $ x + y = 4 $ (т.е. $ y = 4 - x $).

Найдем точки пересечения кривых:

\[ \frac{3}{x} = 4 - x \]

\[ 3 = x(4 - x) \]

\[ 3 = 4x - x^2 \]

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решая квадратное уравнение, находим $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $.

При $ x = 1 $, $ y = 4 - 1 = 3 $. Точка (1, 3).

При $ x = 3 $, $ y = 4 - 3 = 1 $. Точка (3, 1).

Площадь фигуры вычисляется как интеграл разности функций на отрезке от $ x_1 $ до $ x_2 $:

\[ S = \int_{1}^{3} ((4 - x) - \frac{3}{x}) dx \]

\[ S = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} - 3\ln|x| \right]_{1}^{3} \]

\[ S = \left( 4(3) - \frac{3^2}{2} - 3\ln|3| \right) - \left( 4(1) - \frac{1^2}{2} - 3\ln|1| \right) \]

\[ S = \left( 12 - \frac{9}{2} - 3\ln 3 \right) - \left( 4 - \frac{1}{2} - 0 \right) \]

\[ S = 12 - 4.5 - 3\ln 3 - 4 + 0.5 \]

\[ S = 8 - 4 - 3\ln 3 \]

\[ S = 4 - 3\ln 3 \]

Ответ: Площадь фигуры равна $ 4 - 3\ln 3 $.

4. Частное решение дифференциального уравнения

Дано дифференциальное уравнение $ y' - 3y = e^{-2x} $ с начальным условием $ y(0) = 0 $. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение однородного уравнения: $ y' - 3y = 0 $

Характеристическое уравнение: $ k - 3 = 0 $, откуда $ k = 3 $.

Общее решение однородного уравнения: $ y_{ож}(x) = C e^{3x} $.

Частное решение неоднородного уравнения: Ищем решение в виде $ y_{чн}(x) = A e^{-2x} $.

Находим производную: $ y'_{чн}(x) = -2A e^{-2x} $.

Подставляем в исходное уравнение:

\[ -2A e^{-2x} - 3(A e^{-2x}) = e^{-2x} \]

\[ -2A e^{-2x} - 3A e^{-2x} = e^{-2x} \]

\[ -5A e^{-2x} = e^{-2x} \]

Отсюда $ -5A = 1 $, значит, $ A = -\frac{1}{5} $.

Частное решение неоднородного уравнения: $ y_{чн}(x) = -\frac{1}{5} e^{-2x} $.

Общее решение неоднородного уравнения:

$ y(x) = y_{ож}(x) + y_{чн}(x) = C e^{3x} - \frac{1}{5} e^{-2x} $.

Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию $ y(0) = 0 $:

\[ y(0) = C e^{3 \cdot 0} - \frac{1}{5} e^{-2 \cdot 0} = 0 \]

\[ C e^0 - \frac{1}{5} e^0 = 0 \]

\[ C - \frac{1}{5} = 0 \]

\[ C = \frac{1}{5} \]

Подставляем $ C $ в общее решение:

\[ y(x) = \frac{1}{5} e^{3x} - \frac{1}{5} e^{-2x} \]

Ответ: Частное решение: $ y(x) = \frac{1}{5} e^{3x} - \frac{1}{5} e^{-2x} $.

5. Область сходимости степенного ряда

Дан степенной ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(x-2)^n}{n^2} $.

Применим признак Даламбера для определения радиуса сходимости.

Пусть $ a_n = \frac{3^n(x-2)^n}{n^2} $.

Тогда $ a_{n+1} = \frac{3^{n+1}(x-2)^{n+1}}{(n+1)^2} $.

Найдем предел отношения модулей:

\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{3^{n+1}(x-2)^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{3^n(x-2)^n}{n^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3^{n+1}(x-2)^{n+1}}{(n+1)^2} \cdot \frac{n^2}{3^n(x-2)^n} \right| \]

\[ = \lim_{n \to \infty} \left| 3(x-2) \frac{n^2}{(n+1)^2} \right| = |3(x-2)| \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = |3(x-2)| \cdot 1^2 = |3(x-2)| \]

Для сходимости ряда необходимо, чтобы этот предел был меньше 1:

\[ |3(x-2)| < 1 \]

\[ |x-2| < \frac{1}{3} \]

Это означает, что $ -\frac{1}{3} < x-2 < \frac{1}{3} $.

Прибавляя 2 к каждой части неравенства, получаем:

\[ 2 - \frac{1}{3} < x < 2 + \frac{1}{3} \]

\[ \frac{5}{3} < x < \frac{7}{3} \]

Теперь проверим сходимость на границах интервала.

При $ x = \frac{5}{3} $:

Ряд принимает вид $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(\frac{5}{3}-2)^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(-\frac{1}{3})^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} $.

Этот ряд является знакопеременным. По признаку Лейбница, так как $ \frac{1}{n^2} $ убывает к 0, ряд сходится. (Также сходится абсолютно, так как $ \sum \frac{1}{n^2} $ — ряд Дирихле с $ \alpha=2 > 1 $, который сходится).

При $ x = \frac{7}{3} $:

Ряд принимает вид $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(\frac{7}{3}-2)^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(\frac{1}{3})^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $.

Это ряд Дирихле с $ \alpha=2 $, который сходится.

Таким образом, ряд сходится на отрезке $ [\frac{5}{3}, \frac{7}{3}] $.

Ответ: Область сходимости ряда: $ [\frac{5}{3}, \frac{7}{3}] $.