1. Формулы объема цилиндра, конуса 2. Исследование функции по схеме. 3. Примеры: 1) Вычислите lim x+3 / x^3 - 4 lim 2x^2+6x+5 / x^2-25 2) В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия? 4. Задача: . Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

1. Формулы объема цилиндра и конуса

Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Объем конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

2. Исследование функции по схеме.

Схема исследования функции обычно включает следующие пункты:

1. Область определения функции.


2. Чётность или нечётность функции.


3. Периодичность функции.


4. Точки пересечения графика с осями координат.


5. Промежутки знакопостоянства.


6. Промежутки возрастания и убывания функции.


7. Точки экстремума (максимумы и минимумы).


8. Асимптоты графика функции.

3. Примеры:

1) Вычислите:

Первый предел:

\[ \lim_{x \to -3} \frac{x+3}{x^3 - 4} = \frac{-3+3}{(-3)^3 - 4} = \frac{0}{-27 - 4} = \frac{0}{-31} = 0 \]

Второй предел:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+6x+5}{x^2-25} \]

Так как степень числителя равна степени знаменателя, предел равен отношению коэффициентов при старшей степени:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+6x+5}{x^2-25} = \frac{2}{1} = 2 \]

2) Шахматный турнир:

В шахматном турнире участвуют 16 человек. Каждая партия играется между двумя участниками. Чтобы найти общее количество партий, нужно найти количество сочетаний из 16 по 2.

Количество партий \( N \) вычисляется по формуле сочетаний:

\[ N = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n = 16 \) (количество участников) и \( k = 2 \) (количество участников в одной партии).

\[ N = C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 8 \times 15 = 120 \]

Ответ: Должно быть сыграно 120 партий.

4. Задача:

Дано:

• Радиус шара \( R = 41 \) дм.


• Расстояние от центра до плоскости \( d = 9 \) дм.

Найти:

• Площадь сечения \( S \).

Решение:

Сечение шара плоскостью является кругом. Радиус этого круга \( r \) можно найти, используя теорему Пифагора. Представим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это радиус шара \( R \), один катет — расстояние от центра до плоскости \( d \), а другой катет — радиус сечения \( r \).

По теореме Пифагора:

\[ R^2 = d^2 + r^2 \]

Выразим \( r \):

\[ r^2 = R^2 - d^2 \]

\[ r^2 = 41^2 - 9^2 \]

\[ r^2 = 1681 - 81 \]

\[ r^2 = 1600 \]

\[ r = \sqrt{1600} = 40 \) дм.

Площадь круга (сечения) вычисляется по формуле:

\[ S = \pi r^2 \]

\[ S = \pi (40)^2 \]

\[ S = 1600 \(\pi\) \) кв. дм.

Ответ: Площадь сечения равна 1600\(\pi\) кв. дм.