1. $$\frac{1\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}-\frac{1}{18}}$$ 2. $$16x+5x^2+12=0$$ 3. Сумма двух чисел равна -5, а их произведение равно -50. Найдите эти числа. 4. На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись условия: $$x+9<0$$; $$-x+6<0$$ 5. Отметьте на координатной прямой число 5.5 6. $$\left( 36a^2 - \frac{1}{16a^2} \right) : \left( 6a - \frac{1}{4a} \right)$$ при $$a = \frac{1}{6}$$

Решение:

1. Вычисление дроби:

1. Преобразуем смешанное число: \( 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} \).


2. Приведём знаменатель к общему знаменателю: \( \frac{4}{5} - \frac{1}{18} = \frac{4 \cdot 18}{5 \cdot 18} - \frac{1 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{72}{90} - \frac{5}{90} = \frac{67}{90} \).


3. Разделим числитель на знаменатель: \( \frac{5}{3} : \frac{67}{90} = \frac{5}{3} \cdot \frac{90}{67} = \frac{5 \cdot 30}{67} = \frac{150}{67} \).

2. Решение квадратного уравнения:

1. Уравнение: \( 5x^2 + 16x + 12 = 0 \).


2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 256 - 240 = 16 \).


3. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-16 + 4}{10} = \frac{-12}{10} = -1.2 \)


4. \( x_2 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-16 - 4}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \).

3. Поиск двух чисел:

1. Пусть числа равны \( x \) и \( y \).


2. Условия: \( x + y = -5 \) и \( x \cdot y = -50 \).


3. Составим квадратное уравнение, корнями которого являются \( x \) и \( y \): \( t^2 - (x+y)t + xy = 0 \).


4. Подставим значения: \( t^2 - (-5)t + (-50) = 0 \), то есть \( t^2 + 5t - 50 = 0 \).


5. Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 \).


6. Найдём корни: \( t_1 = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 + 15}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)


7. \( t_2 = \frac{-5 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 - 15}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \).

4. Отметка числа на координатной прямой:

1. Условия: \( x+9 < 0 \) и \( -x+6 < 0 \).


2. Из первого неравенства: \( x < -9 \).


3. Из второго неравенства: \( -x < -6 \), то есть \( x > 6 \).


4. Получаем противоречие: \( x < -9 \) и \( x > 6 \). Таких чисел \( x \) не существует.

5. Отметка числа 5.5 на координатной прямой:

Число 5.5 находится правее нуля, между числами 5 и 6, ровно посередине.

6. Упрощение выражения и вычисление:

1. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \).


2. Числитель: \( 36a^2 - \frac{1}{16a^2} = (6a)^2 - \left(\frac{1}{4a}\right)^2 = \left(6a - \frac{1}{4a}\right) \left(6a + \frac{1}{4a}\right) \).


3. Выражение: \( \frac{\left(6a - \frac{1}{4a}\right) \left(6a + \frac{1}{4a}\right)}{6a - \frac{1}{4a}} \).


4. Сокращаем \( \left(6a - \frac{1}{4a}\right) \), получаем \( 6a + \frac{1}{4a} \).


5. Подставляем \( a = \frac{1}{6} \): \( 6 \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{6}} = 1 + \frac{1}{\frac{4}{6}} = 1 + \frac{6}{4} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \).

Ответ: 1. 150/67; 2. x₁ = -1.2, x₂ = -2; 3. 5 и -10; 4. Таких чисел не существует; 5. Число 5.5 находится между 5 и 6.

6. 5/2.