1. \(\frac{4x+1}{x-3}=\frac{3x-8}{x+1}\)

Знаменатели не должны обращаться в ноль: \(x\ne3\), \(x\ne-1\).

Умножим обе части на \((x-3)(x+1)\):

\((4x+1)(x+1)=(3x-8)(x-3)\).

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

\(4x^2+5x+1=3x^2-17x+24\),

\(x^2+22x-23=0\).

Разложим на множители: \((x-1)(x+23)=0\). Получаем \(x=1\) или \(x=-23\); оба значения допустимы.

Ответ: \(x=1;\ -23\).