1) \(\frac{\left(2^{\frac{2}{3}}\right)^3}{\left(4^{\frac{5}{6}}\right)^3}\)

Решение:

Чтобы решить данный пример, воспользуемся свойствами степеней.

1. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
2. Сначала упростим числитель: \( \left(2^{\frac{2}{3}}\right)^3 = 2^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 2^2 = 4 \).
3. Теперь упростим знаменатель: \( \left(4^{\frac{5}{6}}\right)^3 = 4^{\frac{5}{6} \cdot 3} = 4^{\frac{15}{6}} = 4^{\frac{5}{2}} \).
4. Выразим 4 как \( 2^2 \): \( 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5 = 32 \).
5. Теперь подставим полученные значения обратно в дробь: \( \frac{4}{32} \).
6. Сократим дробь: \( \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \).

Ответ: \(\frac{1}{8}\).