№1. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке F. Найдите угол AFD, если дуга AD=142°, а дуга BC = 116°. №2. Из точки N проведены две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках B и А, вторая в точках D и С (начиная от точки N). Найдите угол BND, если дуга AC=24°, а дуга BD = 72°.

Решение задачи №1

Для нахождения угла AFD, который является углом между двумя пересекающимися хордами, мы используем формулу:

\[ \angle AFD = \frac{1}{2} ( \text{дуга } AD + \text{дуга } BC ) \]

Подставляем данные значения:

\[ \angle AFD = \frac{1}{2} ( 142^{\circ} + 116^{\circ} ) \]

\[ \angle AFD = \frac{1}{2} ( 258^{\circ} ) \]

\[ \angle AFD = 129^{\circ} \]

Ответ: 129°

Решение задачи №2

Угол BND является углом между двумя секущими, исходящими из одной точки вне окружности. Формула для нахождения такого угла:

\[ \angle BND = \frac{1}{2} ( \text{большая дуга} - \text{меньшая дуга} ) \]

В данном случае, секущая NBC пересекает окружность в точках B и C, а секущая NAD — в точках A и D. Большая дуга, которую отсекают секущие, — это дуга BD, а меньшая — дуга AC.

Подставляем данные значения:

\[ \angle BND = \frac{1}{2} ( \text{дуга } BD - \text{дуга } AC ) \]

\[ \angle BND = \frac{1}{2} ( 72^{\circ} - 24^{\circ} ) \]

\[ \angle BND = \frac{1}{2} ( 48^{\circ} ) \]

\[ \angle BND = 24^{\circ} \]

Ответ: 24°