1. И вот сестра догадалась на прогулке брать (я). Теперь нужно было только увидеть цветок или, вернее, увидеть тот, который хотелось сорвать; а я, бегавший возле (она), немедленно приходил в исполнение её желания.

Местоимение ставится в форме, требуемой падежом и смысловой связью:

1. брать меня — винительный падеж;
2. возле неё — родительный падеж после предлога «возле».

И вот сестра догадалась на прогулке брать меня. Теперь нужно было только увидеть цветок или, вернее, увидеть тот, который хотелось сорвать; а я, бегавший возле неё, немедленно приходил в исполнение её желания.

Ответ: меня, неё.