1. И вот сестра догадалась на прогулке брать (я). Теперь (она) нужно было только увидеть цветочек или, вернее, выбрать тот, который хочется сорвать: а я, бегавший возле (она), немедленно приводил в исполнение её желания.

Местоимения ставятся в нужную падежную форму в соответствии с вопросами и управлением слов:

• брать кого? — меня;
• нужно было кому? — ей;
• возле кого? — неё.

И вот сестра догадалась на прогулке брать меня. Теперь ей нужно было только увидеть цветочек или, вернее, выбрать тот, который хочется сорвать: а я, бегавший возле неё, немедленно приводил в исполнение её желания.

Ответ: меня, ей, неё.