1. И вот сестра догадалась на прогулку брать (я). Теперь (она) нужно было только увидеть цветок или, вернее, выбрать тот, который хочется сорвать: а я, бегавший возле (она), немедленно приводил в исполнение её желания.

Местоимения ставятся в нужную падежную форму по смыслу и связи со словами:

И вот сестра догадалась на прогулку брать меня. Теперь ей нужно было только увидеть цветок или, вернее, выбрать тот, который хочется сорвать: а я, бегавший возле неё, немедленно приводил в исполнение её желания.

Ответ: брать меня; ей нужно; возле неё.