1. Игральную кость бросают 2 раза. Рассмотрите два события: «в первый раз выпало больше трёх очков» и «сумма выпавших очков равна 8». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность того, что ни одно из этих событий не наступит.

Обозначим события: A — в первый раз выпало больше трёх очков; B — сумма очков равна 8.

Всего при двух бросках возможно 36 равновероятных упорядоченных пар результатов.

1. P(A) = 18/36 = 1/2, поскольку первый результат может быть 4, 5 или 6, а второй — любым.

2. Событию B соответствуют пары (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), поэтому P(B) = 5/36.

3. Оба события происходят для пар (5, 3) и (6, 2), значит, P(A ∩ B) = 2/36 = 1/18. При независимости должно быть P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 5/72. Так как 1/18 ≠ 5/72, события зависимы.

4. Вероятность наступления хотя бы одного события: P(A ∪ B) = 18/36 + 5/36 − 2/36 = 21/36. Поэтому вероятность того, что ни одно событие не наступит, равна 1 − 21/36 = 15/36 = 5/12.

Ответ: а) события зависимы; б) 5/12.