1. $$\int 5x^4 dx$$ 2. $$\int (6x^5 - 3x^2) dx$$ 3. $$\int (2 \sin x - 3^x) dx$$ 4. $$\int \frac{(3x+1)^2}{x} dx$$ 5. $$\int_1^2 x^2 dx$$ 6. $$\int_0^2 (5x^4 - 8) dx$$ 7. Вычислить площадь трапеции, ограниченной y=0, x=1, x=2, y=x^2

Решение:

1. $$\int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 5 \frac{x^5}{5} + C = x^5 + C$$
2. $$\int (6x^5 - 3x^2) dx = \int 6x^5 dx - \int 3x^2 dx = 6 \frac{x^6}{6} - 3 \frac{x^3}{3} + C = x^6 - x^3 + C$$
3. $$\int (2 \sin x - 3^x) dx = 2 \int \sin x dx - \int 3^x dx = 2(-\cos x) - \frac{3^x}{\ln 3} + C = -2 \cos x - \frac{3^x}{\ln 3} + C$$
4. $$\int \frac{(3x+1)^2}{x} dx = \int \frac{9x^2 + 6x + 1}{x} dx = \int (9x + 6 + \frac{1}{x}) dx = 9 \frac{x^2}{2} + 6x + \ln|x| + C$$
5. $$\int_1^2 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$
6. $$\int_0^2 (5x^4 - 8) dx = \left[ \frac{5x^5}{5} - 8x \right]_0^2 = \left[ x^5 - 8x \right]_0^2 = (2^5 - 8 \cdot 2) - (0^5 - 8 \cdot 0) = (32 - 16) - 0 = 16$$
7. Для вычисления площади трапеции, ограниченной $$y=x^2$$, $$y=0$$, $$x=1$$, $$x=2$$, нужно вычислить определенный интеграл функции $$y=x^2$$ от $$1$$ до $$2$$.

Ответ:

1. $$x^5 + C$$

2. $$x^6 - x^3 + C$$

3. $$-2 \cos x - \frac{3^x}{\ln 3} + C$$

4. $$\frac{9x^2}{2} + 6x + \ln|x| + C$$

5. $$\frac{7}{3}$$

6. $$16$$

7. Площадь равна $$\int_1^2 x^2 dx = \frac{7}{3}$$