1. Используя данные, приведённые на рисунках, укажите номера рисунков, на которых изображены равнобедренные треугольники: 2. В треугольнике АВС проведены медиана АК, биссектриса BN и высота СН. Укажите номера верных утверждений: 1) ВК = СК; 2) AH = BH; 3) ∠ABN = ∠CBN; 4) ∠BAK = ∠CAK; 5) ∠AKB = 90°; 6) ∠CHB = 90°. 3. CD – хорда окружности с центром О. Найдите ∠COD, если ∠DCO = 40°. 4. На рисунке отрезок РК параллелен стороне ВС, луч РМ является биссектрисой угла KPD. Найдите величину угла PMD. 5. На рисунке точка М является серединой отрезков АС и BD. Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.

Часть А

1. Равнобедренные треугольники:

На основе приведенных рисунков, сложно однозначно определить, какие из них являются равнобедренными, так как углы и длины сторон не указаны явно для всех фигур. Однако, если предположить, что стандартные изображения треугольников с одинаковыми углами (помеченными одинаково) подразумевают равенство сторон, то:

• Рисунок 2: Углы при основании равны 45°, что характерно для равнобедренного треугольника.
• Рисунок 3: Углы при основании равны 30°, что также характерно для равнобедренного треугольника.

Ответ: 2, 3.

2. Верные утверждения в треугольнике АВС:

В треугольнике АВС проведены медиана АК, биссектриса BN и высота СН. Рассмотрим утверждения:

• 1) ВК = СК: Это верно, если АК является медианой, проведенной к основанию в равнобедренном треугольнике АВС, где АВ = АС, или если треугольник прямоугольный и АК — медиана к гипотенузе. В общем случае это неверно.
• 2) AH = BH: Это верно, если СН является медианой, т.е. если АВС — равнобедренный треугольник с АС = ВС. В общем случае неверно.
• 3) ∠ABN = ∠CBN: Это верно, так как BN — биссектриса угла АВС.
• 4) ∠BAK = ∠CAK: Это верно, так как АК — биссектриса угла ВАС.
• 5) ∠AKB = 90°: Это верно, если АК — высота. Но АК — медиана. Это возможно только в частных случаях (например, если АВ = АС).
• 6) ∠CHB = 90°: Это верно, так как СН — высота.

Ответ: 3, 6.

Часть В

3. Угол COD в окружности:

В треугольнике CDO, CD — хорда, O — центр окружности. Треугольник CDO является равнобедренным, так как OC = OD (радиусы окружности). Следовательно, углы при основании равны:

\( \angle OCD = \angle ODC \)

По условию, \( \angle DCO = 40° \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ \angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180° \]

\[ \angle COD + 40° + 40° = 180° \]

\[ \angle COD + 80° = 180° \]

\[ \angle COD = 180° - 80° = 100° \]

Ответ: 100°.

4. Угол PMD:

По условию, РК || ВС. Луч РМ — биссектриса угла KPD. Нам нужно найти угол PMD.

В треугольнике BPC, \( \angle B = 50° \). В треугольнике CPD, \( \angle C = 70° \).

Так как РК || ВС, то \( \angle RKP = \angle CBP = 50° \) (как соответственные углы при параллельных прямых РК и ВС и секущей ВР).

Также \( \angle PKB = \angle CB P = 50° \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых РК и ВС и секущей ВР).

В треугольнике BPC: \( \angle BPC = 180° - \angle PBC - \angle BCP = 180° - 50° - \angle BCP \). Недостаточно данных.

Рассмотрим рисунок более внимательно. В треугольнике BCP: \( \angle CBP = 50° \).

В треугольнике CDP: \( \angle PCD = 70° \).

На рисунке также указан угол 30° у вершины B.

Предположим, что \( \angle PBC = 50° \) и \( \angle BCP = 30° \) (по рисунку). Тогда \( \angle BPC = 180° - 50° - 30° = 100° \).

Дано, что РК || ВС. Это значит, что \( \angle KPD = \angle BCD \) (как накрест лежащие углы, если бы BD была секущей, что не так).

Дано, что РК || ВС. Тогда \( \angle PKB = \angle CB P = 50° \) (накрест лежащие углы при параллельных РК и ВС и секущей ВР).

Луч РМ — биссектриса угла KPD. Нам нужно найти \( \angle PMD \).

В треугольнике BPC, \( \angle B = 50° \).

В треугольнике CDP, \( \angle C = 70° \).

Также на рисунке у вершины B указан угол 50, а у вершины C — 70. У точки P внутри треугольника BCD, есть угол 50°. Это углы \( \angle CBP = 50° \) и \( \angle BCP = 30° \) (из рисунка).

Если \( \angle CBP = 50° \) и \( \angle BCP = 30° \), то \( \angle BPC = 180° - 50° - 30° = 100° \).

На рисунке указано, что \( \angle CBP = 50° \). Угол \( \angle BCP \) не указан явно, но у вершины C есть угол 70. Это \( \angle PCD = 70° \).

Угол \( \angle KPD \) и \( \angle PMD \) нам неизвестны.

Из условия, РК || ВС. Луч РМ — биссектриса угла KPD.

В треугольнике BCD, \( \angle CBD = 50° \).

На рисунке угол \( \angle BCP \) не дан. Угол \( \angle PCD = 70° \).

Рассмотрим треугольник BCD. Угол \( \angle CBD = 50° \). Угол \( \angle BCD \) не известен. Угол \( \angle CDB \) не известен.

На рисунке у точки P, \( \angle CBP = 50° \). У угла \( \angle BCP \) не указана величина. Угол \( \angle BPC = 100° \) (если \( \angle BCP = 30° \)).

Предположим, что \( \angle CBD = 50° \) и \( \angle BCD = 30° \) (по рисунку). Тогда \( \angle BDC = 180° - 50° - 30° = 100° \).

На рисунке, \( \angle CBP = 50° \). Угол \( \angle BCP \) не дан. На рисунке у C указано 70, это \( \angle PCD = 70° \).

Углы у вершины B: 50°. Углы у вершины C: 30° (внутренний в \( \triangle BCP \)) и 70° (весь \( \angle BCD \)? Или \( \angle PCD \)?).

Если \( \angle CBP = 50° \) и \( \angle BCP = 30° \), то \( \angle BPC = 100° \).

РК || ВС. \( \angle RKP = \angle CBP = 50° \) (накрест лежащие). \( \angle PK B = \angle CBP = 50° \).

Угол \( \angle KPD \) нам неизвестен. Луч РМ — биссектриса \( \angle KPD \).

На рисунке, \( \angle CBD = 50° \) и \( \angle BCP = 30° \). Угол \( \angle PCD = 70° \).

Пусть \( \angle BPC = 100° \).

РК || ВС. \( \angle BPC = 100° \).

В \( \triangle BCP \), \( \angle PBC = 50° \), \( \angle BCP = 30° \), \( \angle BPC = 100° \).

Из рисунка: \( \angle CBD = 50° \). \( \angle BCP = 30° \). \( \angle PCD = 70° \).

Значит, \( \angle BCD = \angle BCP + \angle PCD = 30° + 70° = 100° \).

В \( \triangle BCD \): \( \angle CBD = 50° \), \( \angle BCD = 100° \). Тогда \( \angle BDC = 180° - 50° - 100° = 30° \).

Теперь про РК || ВС и биссектрису РМ.

Так как РК || ВС, то \( \angle RKP = \angle CBP = 50° \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых РК и ВС и секущей ВР).

И \( \angle PK B = \angle CB P = 50° \) (накрест лежащие).

Угол \( \angle KPD \) не равен \( \angle BCD \).

Из рисунка: \( \angle RKP = 50° \), \( \angle CP D = 70° \).

Угол \( \angle KPD \) — это внешний угол треугольника CDP. Нет.

На рисунке у точки P, \( \angle KPC \) не дан.

По условию: РК || ВС. Луч РМ — биссектриса \( \angle KPD \).

Углы в \( \triangle BCP \): \( \angle PBC = 50° \), \( \angle BCP = 30° \), \( \angle BPC = 100° \).

Углы в \( \triangle CDP \): \( \angle PCD = 70° \), \( \angle PDC = 30° \) (из \( \triangle BCD \)). \( \angle CPD = 180° - 70° - 30° = 80° \).

\( \angle BPC + \angle CPD = 100° + 80° = 180° \). Это верно, т.к. они смежные.

Так как РК || ВС, то \( \angle RKP = \angle CBP = 50° \) (накрест лежащие).

Угол \( \angle KPD \) нам нужно найти.

На рисунке есть угол \( \angle KPD \). Его величина не дана.

Предположим, что \( \angle KPC = \angle BCP = 30° \) (накрест лежащие углы при параллельных РК и ВС и секущей PC).

Тогда \( \angle KPD = \angle KPC + \angle CPD = 30° + 80° = 110° \).

РМ — биссектриса \( \angle KPD \). Значит \( \angle KPM = \angle DPM = 110° / 2 = 55° \).

Нам нужно найти \( \angle PMD \).

\( \angle PMD = \angle DPM = 55° \).

Ответ: 55°.

Часть С

5. Доказательство параллельности прямых ВС и AD:

Дано: Точка М — середина отрезков АС и BD.

Доказать: ВС || AD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle BMC \) и \( \triangle DMA \).

1. \( \angle BMC = \angle DMA \) — как вертикальные углы.

2. \( AM = MC \) — так как М — середина АС (по условию).

3. \( DM = MB \) — так как М — середина BD (по условию).

Следовательно, \( \triangle BMC = \triangle DMA \) по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

\[ \angle MBC = \angle MDA \]

и

\[ \angle MCB = \angle MAD \]

Углы \( \angle MBC \) и \( \angle MDA \) являются накрест лежащими при прямых ВС и AD и секущей BD. Так как эти углы равны, то прямые ВС и AD параллельны.

Также углы \( \angle MCB \) и \( \angle MAD \) являются накрест лежащими при прямых ВС и AD и секущей АС. Так как эти углы равны, то прямые ВС и AD параллельны.

Доказано.