1. Используя данные, указанные на рисунке: 1) найдите угол α, если площадь треугольника равна 4,5; 2) найдите неизвестную сторону, если α = 150°; 3) найдите sin γ, если sin β = √3/4. На рисунке стороны, прилежащие к углу α, равны 3√3 и 2.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Площадь через две стороны и угол между ними: \(S=\frac12 ab\sin\alpha\).
Подставим данные: \(4.5=\frac12\cdot3\sqrt3\cdot2\cdot\sin\alpha=3\sqrt3\sin\alpha\), поэтому \(\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\). По рисунку угол α тупой, значит \(\alpha=150^\circ\).
Обозначим неизвестную сторону через \(c\). По теореме косинусов:
\(c^2=(3\sqrt3)^2+2^2-2\cdot3\sqrt3\cdot2\cos150^\circ=27+4+18=49\), следовательно, \(c=7\).
По теореме синусов стороны, противолежащие углам γ и β, равны соответственно 2 и \(3\sqrt3\):
\(\frac{\sin\gamma}{2}=\frac{\sin\beta}{3\sqrt3}\), поэтому \(\sin\gamma=\frac{2\cdot(\sqrt3/4)}{3\sqrt3}=\frac16\).

Ответ: 1) 150°; 2) 7; 3) \(\sin\gamma=\frac16\).