Ответ:

  1. На полках стояли чашки. Они были стеклянными. — Ошибки нет: местоимение «они» связывает предложения и согласуется со словом «чашки».
  2. Я сомневаюсь, буду ли готов к конкурсу. — Убрано лишнее «что»: при косвенном вопросе используется частица «ли».
  3. В магазине продавали ручки, карандаши, линейки. Все они были с интересным дизайном. — Повтор перечисления заменён местоимением.
  4. Я заболел. Из-за этого пропустил игру любимой команды. — «Из-за этого» указывает на причину с отрицательным последствием; «благодаря этому» обычно связывают с положительным результатом.
  5. Похолодало. Вот почему улетают птицы. — «Вот почему» указывает на следствие названной причины.