1. Исследовать функцию и построить ее график y = x³ - 12x + 4 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: [-3;3] 3. Составить уравнение касательной к графику функции в точке x=-1 и начертить её.

Решение задачи №28

Привет! Давай разберём эту задачку по математике вместе. Она состоит из трёх частей, и мы пройдемся по каждой из них.

Часть 1: Исследование функции и построение графика

Нам дана функция $$ y = x^3 - 12x + 4 $$. Чтобы исследовать её, будем находить:

1. Область определения: Эта функция определена для всех действительных чисел, то есть $$ x \in \mathbb{R} $$.
2. Производная: Найдем первую производную, чтобы определить возрастание/убывание и точки экстремума.
   $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x + 4) = 3x^2 - 12 $$.
3. Критические точки: Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, где может меняться характер монотонности функции.
   $$ 3x^2 - 12 = 0 \\ 3x^2 = 12 \\ x^2 = 4 \\ x = \pm 2 $$.
4. Интервалы монотонности:
   - Если $$ x < -2 $$, например $$ x = -3 $$, то $$ y' = 3(-3)^2 - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 $$. Значит, функция возрастает.
5. - Если $$ -2 < x < 2 $$, например $$ x = 0 $$, то $$ y' = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0 $$. Значит, функция убывает.
6. - Если $$ x > 2 $$, например $$ x = 3 $$, то $$ y' = 3(3)^2 - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 $$. Значит, функция возрастает.
7. Точки экстремума:
   - В точке $$ x = -2 $$ функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума. $$ y(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 4 = -8 + 24 + 4 = 20 $$. Точка максимума: $$ (-2, 20) $$.
8. - В точке $$ x = 2 $$ функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума. $$ y(2) = (2)^3 - 12(2) + 4 = 8 - 24 + 4 = -12 $$. Точка минимума: $$ (2, -12) $$.
9. Вторая производная: Для определения точек перегиба и выпуклости.
   $$ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12) = 6x $$.
10. Точки перегиба: Приравняем вторую производную к нулю.
    $$ 6x = 0 \\ x = 0 $$.
11. Интервалы выпуклости:
    - Если $$ x < 0 $$, например $$ x = -1 $$, то $$ y'' = 6(-1) = -6 < 0 $$. Значит, функция выпукла вверх (вогнутая).
12. - Если $$ x > 0 $$, например $$ x = 1 $$, то $$ y'' = 6(1) = 6 > 0 $$. Значит, функция выпукла вниз (выпуклая).
13. - В точке $$ x = 0 $$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $$ y(0) = 0^3 - 12(0) + 4 = 4 $$. Точка перегиба: $$ (0, 4) $$.

График:

Часть 2: Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-3; 3]

Нам нужно найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке $$ [-3; 3] $$. Для этого сравним значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.

• Критические точки: $$ x = -2 $$ и $$ x = 2 $$. Обе попадают в отрезок $$ [-3; 3] $$.
• Значения в критических точках:
• $$ y(-2) = 20 $$ (уже посчитали, это максимум)
• $$ y(2) = -12 $$ (уже посчитали, это минимум)
• Значения на концах отрезка:
• $$ y(-3) = (-3)^3 - 12(-3) + 4 = -27 + 36 + 4 = 13 $$.
• $$ y(3) = (3)^3 - 12(3) + 4 = 27 - 36 + 4 = -5 $$.
• Сравниваем все полученные значения: $$ 20, -12, 13, -5 $$.

Наибольшее значение функции на отрезке $$ [-3; 3] $$ равно $$ 20 $$ (достигается при $$ x = -2 $$).

Наименьшее значение функции на отрезке $$ [-3; 3] $$ равно $$ -12 $$ (достигается при $$ x = 2 $$).

Часть 3: Уравнение касательной в точке x=-1

Уравнение касательной к графику функции $$ y = f(x) $$ в точке $$ x_0 $$ имеет вид: $$ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) $$.

1. Найдем $$ y_0 $$ (значение функции в точке $$ x_0 = -1 $$):
   $$ y_0 = y(-1) = (-1)^3 - 12(-1) + 4 = -1 + 12 + 4 = 15 $$.
2. Найдем $$ f'(x_0) $$ (значение производной в точке $$ x_0 = -1 $$):
   $$ f'(x) = 3x^2 - 12 $$.
   $$ f'(-1) = 3(-1)^2 - 12 = 3(1) - 12 = 3 - 12 = -9 $$.
3. Подставим значения в уравнение касательной:
   $$ y - 15 = -9(x - (-1)) \\ y - 15 = -9(x + 1) \\ y - 15 = -9x - 9 \\ y = -9x - 9 + 15 \\ y = -9x + 6 $$.

Ответ:

• Наибольшее значение функции на отрезке $$ [-3; 3] $$: $$ 20 $$.
• Наименьшее значение функции на отрезке $$ [-3; 3] $$: $$ -12 $$.
• Уравнение касательной в точке $$ x = -1 $$: $$ y = -9x + 6 $$.

Надеюсь, всё понятно! Если есть вопросы, спрашивай.