1. Из данных выражений укажите алгебраические дроби: A) a²-b⁵; B) 8x⁵ 5x³-2y ; C) 5x³-2y 3x ; D) b-3y² 2 ; E)a +5b³ 2. Найдите область допустимых значений алгебраического выражения a) x-12y y²-16 ; b) 2a-3 5a²+121 3. Упростите выражение a²+6a+9 2a+6 и найдите его значение при а = 7 4. Выполните сложение дробей: c b-c + b² b²-c² 5. Выполните деление алгебраических дробей: 3m²-3n² m²+mp : 6m-6n p+m 6. Докажите, что при всех допустимых значениях b выражение (b²-64 b - b-8 ) : 2b-8 b +8b = -1

Задание 1. Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это отношение двух многочленов, где знаменатель не равен нулю.

Из представленных выражений алгебраическими дробями являются:

• B) $$\frac{8x⁵}{5x³-2y}$$
• C) $$\frac{5x³-2y}{3x}$$
• D) $$\frac{b-3y²}{2}$$

Ответ: B, C, D.

Задание 2. Область допустимых значений (ОДЗ)

а) $$\frac{x-12y}{y²-16}$$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

\[ y² - 16
e 0 \]

\[ (y - 4)(y + 4)
e 0 \]

Значит, \( y
e 4 \) и \( y
e -4 \).

ОДЗ: \( y
e \pm 4 \).

б) $$\frac{2a-3}{5a²+121}$$

Знаменатель дроби:

\[ 5a² + 121 \]

Так как \( a² \ge 0 \) для любого действительного \( a \), то \( 5a² \ge 0 \). Следовательно, \( 5a² + 121 \ge 121 \) для любого действительного \( a \). Знаменатель никогда не равен нулю.

ОДЗ: \( a \in \mathbb{R} \) (любые действительные числа).

Задание 3. Упрощение выражения и нахождение значения

Упростим выражение:

\[ \frac{a²+6a+9}{2a+6} = \frac{(a+3)²}{2(a+3)} \]

Сокращаем на \( (a+3) \), при условии, что \( a+3
e 0 \) (то есть \( a
e -3 \)).

\[ \frac{a+3}{2} \]

Найдем значение при \( a = 7 \):

\[ \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Ответ: 5.

Задание 4. Сложение дробей

Сложим дроби:

\[ \frac{c}{b-c} + \frac{b²}{b²-c²} \]

Приведём к общему знаменателю \( b²-c² = (b-c)(b+c) \).

\[ \frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)} + \frac{b²}{(b-c)(b+c)} = \frac{cb + c² + b²}{(b-c)(b+c)} = \frac{b² + cb + c²}{b²-c²} \]

Ответ: $$\frac{b²+cb+c²}{b²-c²}$$.

Задание 5. Деление алгебраических дробей

Выполним деление:

\[ \frac{3m²-3n²}{m²+mp} : \frac{6m-6n}{p+m} \]

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

\[ \frac{3m²-3n²}{m²+mp} \cdot \frac{p+m}{6m-6n} \]

Разложим на множители:

\[ \frac{3(m²-n²)}{m(m+p)} \cdot \frac{p+m}{6(m-n)} = \frac{3(m-n)(m+n)}{m(m+p)} \cdot \frac{p+m}{6(m-n)} \]

Сокращаем \( (m-n) \) и \( (m+p) \) (если \( m
e n \) и \( m
e -p \)).

\[ \frac{3(m+n)}{m} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3(m+n)}{6m} = \frac{m+n}{2m} \]

Ответ: $$\frac{m+n}{2m}$$.

Задание 6. Доказательство тождества

Докажем, что выражение равно -1:

\[ \left( \frac{b²-64}{b} - \frac{b-8}{b²+8b} \right) : \frac{2b-8}{b} \]

Сначала упростим выражение в скобках:

\[ \frac{b²-64}{b} - \frac{b-8}{b(b+8)} \]

Общий знаменатель: \( b(b+8) \).

\[ \frac{(b²-64)(b+8)}{b(b+8)} - \frac{b-8}{b(b+8)} = \frac{b³ + 8b² - 64b - 512 - (b-8)}{b(b+8)} = \frac{b³ + 8b² - 64b - 512 - b + 8}{b(b+8)} \]

\[ = \frac{b³ + 8b² - 65b - 504}{b(b+8)} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{b³ + 8b² - 65b - 504}{b(b+8)} \cdot \frac{b}{2b-8} \]

\[ = \frac{b³ + 8b² - 65b - 504}{b(b+8)} \cdot \frac{b}{2(b-4)} = \frac{b³ + 8b² - 65b - 504}{2(b+8)(b-4)} \]

Проверим, если \( b = -1 \), то выражение равно -1. Это означает, что при \( b = -1 \) числитель должен быть равен \( -2(-1+8)(-1-4) = -2(7)(-5) = 70 \).

Подставим \( b = -1 \) в числитель:

\[ (-1)³ + 8(-1)² - 65(-1) - 504 = -1 + 8 + 65 - 504 = 72 - 505 = -433 \]

Пересмотрим начальное выражение. Очевидно, что в условии задания есть ошибка, так как данное выражение не равно -1.

Однако, если предположить, что в задании имелось в виду доказать, что выражение равно какой-то константе, или если в самом выражении опечатка, то решить его невозможно.

Предположим, что имелось в виду другое выражение, которое действительно равно -1.

Попробуем упростить выражение в скобках, разложив его иначе.

$$\frac{b^2-64}{b} - \frac{b-8}{b^2+8b} = \frac{(b-8)(b+8)}{b} - \frac{b-8}{b(b+8)}$$

$$= \frac{(b-8)(b+8)^2 - (b-8)}{b(b+8)} = \frac{(b-8)((b+8)^2 - 1)}{b(b+8)}$$

$$= \frac{(b-8)(b^2+16b+64-1)}{b(b+8)} = \frac{(b-8)(b^2+16b+63)}{b(b+8)}$$

$$= \frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{b(b+8)}$$

Теперь разделим на $$\frac{2b-8}{b} = \frac{2(b-4)}{b}$$

$$\frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{b(b+8)} \times \frac{b}{2(b-4)} = \frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{2(b+8)(b-4)}$$

Данное выражение все еще не равно -1.

Будем считать, что в задании предполагается ошибка и показать, что при некоторых значениях b оно может быть равно -1, или же, что оно равно некоторому другому значению.

Проверим, если бы знак перед второй дробью был плюс:

\[ \frac{b²-64}{b} + \frac{b-8}{b²+8b} = \frac{(b²-64)(b+8) + (b-8)}{b(b+8)} = \frac{b³+8b²-64b-512+b-8}{b(b+8)} = \frac{b³+8b²-63b-520}{b(b+8)} \]

Это тоже не приводит к -1.

Судя по всему, в условии задания есть опечатка. Если предположить, что выражение равно -1, то при постановке b = -1, мы должны получить -1.

$$\frac{(-1)²-64}{-1} - \frac{-1-8}{(-1)²+8(-1)} = \frac{1-64}{-1} - \frac{-9}{1-8} = \frac{-63}{-1} - \frac{-9}{-7} = 63 - \frac{9}{7} = \frac{441-9}{7} = \frac{432}{7}$$

$$\frac{2(-1)-8}{-1} = \frac{-2-8}{-1} = \frac{-10}{-1} = 10$$

$$\frac{432}{7} : 10 = \frac{432}{70} = \frac{216}{35}$$

Это точно не -1.

Если мы предположим, что правильное выражение должно было быть таким, чтобы после упрощения получилось -1:

\[ \left( \frac{b²-64}{b} - \frac{b-8}{b²+8b} \right) : \frac{2b-8}{b} \]

Упростим числитель первой дроби: $$\frac{(b-8)(b+8)}{b}$$

Упростим знаменатель второй дроби: $$b(b+8)$$

$$\frac{(b-8)(b+8)}{b} - \frac{b-8}{b(b+8)} = \frac{(b-8)(b+8)^2 - (b-8)}{b(b+8)} = \frac{(b-8)((b+8)^2-1)}{b(b+8)}$$

$$= \frac{(b-8)(b^2+16b+63)}{b(b+8)} = \frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{b(b+8)}$$

Теперь делим: $$\frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{b(b+8)} \times \frac{b}{2(b-4)} = \frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{2(b+8)(b-4)}$$

С учётом того, что задание требует ДОКАЗАТЬ, а не упростить, и результат равен -1, скорее всего, в исходном выражении была допущена ошибка.

Предположим, что выражение имело вид:

\[ \frac{b-8}{b} : \frac{2b-8}{b^2-64} \]

\[ \frac{b-8}{b} \times \frac{b^2-64}{2b-8} = \frac{b-8}{b} \times \frac{(b-8)(b+8)}{2(b-4)} \]

Это тоже не -1.

Давайте попробуем упростить выражение, предполагая, что оно действительно равно -1.

$$\frac{b^2-64}{b} - \frac{b-8}{b^2+8b} = \frac{(b-8)(b+8)}{b} - \frac{b-8}{b(b+8)}$$

$$= \frac{(b-8)(b+8)^2 - (b-8)}{b(b+8)} = \frac{(b-8)((b+8)^2-1)}{b(b+8)} = \frac{(b-8)(b^2+16b+63)}{b(b+8)}$$

$$= \frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{b(b+8)}$$

Теперь разделим на $$\frac{2b-8}{b} = \frac{2(b-4)}{b}$$

$$\frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{b(b+8)} \times \frac{b}{2(b-4)} = \frac{(b-8)(b+7)(b+9)}{2(b+8)(b-4)}$$

Если предположить, что в знаменателе второй дроби было $$(b-8)$$ вместо $$b^2+8b$$, и в числителе первой дроби было $$(b-8)$$ вместо $$(b^2-64)$$, и при делении использовать $$\frac{b}{2b-8}$$ (то есть $$\frac{b}{2(b-4)}$$), то:

\[ \frac{b-8}{b} - \frac{b-8}{b-8} = \frac{b-8}{b} - 1 = \frac{b-8-b}{b} = \frac{-8}{b} \]

$$\frac{-8}{b} : \frac{2b-8}{b} = \frac{-8}{b} \times \frac{b}{2b-8} = \frac{-8}{2b-8} = \frac{-8}{2(b-4)} = \frac{-4}{b-4}$$

Это тоже не -1.

Проверим, если в задании было: $$\left( \frac{b²-64}{b} \right) : \left( \frac{2b-8}{b} \right) - \frac{b-8}{b²+8b}$$.

\[ \frac{b²-64}{b} \cdot \frac{b}{2b-8} - \frac{b-8}{b(b+8)} = \frac{b²-64}{2b-8} - \frac{b-8}{b(b+8)} \]

\[ = \frac{(b-8)(b+8)}{2(b-4)} - \frac{b-8}{b(b+8)} \]

Это также не приводит к -1.

Если предположить, что выражение было: $$\left( \frac{b^2-64}{b} \right) : \left( \frac{2b-8}{b} \right)$$ и нужно доказать, что оно равно $$\frac{b+8}{2}$$

\[ \frac{b^2-64}{b} \times \frac{b}{2b-8} = \frac{(b-8)(b+8)}{2(b-4)} \]

Это не -1.

С учетом того, что требуется доказать равенство, и результат получается не -1, скорее всего, в задании ошибка. Однако, если предположить, что имелось в виду:

\[ \left( \frac{b^2-64}{b} - 1 \right) : \left( \frac{2b-8}{b} \right) \]

\[ \frac{b^2-64-b}{b} \times \frac{b}{2b-8} = \frac{b^2-b-64}{2b-8} \]

Не равно -1.

В условиях задачи, вероятно, опечатка. Приведенное выражение не равно -1.

Ответ: В условии задания, вероятно, содержится ошибка, так как приведенное выражение не тождественно равно -1.