1) Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных MP и MQ равны.

Пусть O — центр окружности, а P и Q — точки касания. Соединим центр окружности с точками касания.

1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: OP ⟂ MP и OQ ⟂ MQ.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники △OMP и △OMQ.
3. В них OP = OQ как радиусы одной окружности, а сторона OM — общая.
4. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.

Поэтому соответствующие катеты равны:

\[MP=MQ.\]

Ответ: отрезки касательных MP и MQ равны.