1. Из середины стороны параллелограмма противоположная ей сторона видна под прямым углом. Найдите отношение сторон параллелограмма. (рис.)

Обозначим длину стороны, на которой лежит середина, через \(a\), а длину соседней стороны — через \(b\). Пусть проекция соседней стороны на первую равна \(p\), а перпендикулярная составляющая — \(h\).

Из середины противоположной стороны проведены отрезки к концам стороны длины \(a\). Их направления можно задать векторами \((p+a/2, h)\) и \((p-a/2, h)\). По условию они перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:

\((p+a/2)(p-a/2)+h^2=0\), откуда \(p^2+h^2=a^2/4\).

Но \(p^2+h^2=b^2\), следовательно, \(b=a/2\). Значит, большая сторона вдвое больше меньшей.

Ответ: отношение большей стороны к меньшей равно \(2:1\).