1. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательные МА и МВ (А и В — точки касания). Докажите, что MA = MB.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle MAO \) и \( \triangle MBO \), где \( O \) — центр окружности.

1. \( OA = OB \) — как радиусы окружности.
2. \( MO \) — общая гипотенуза для обоих треугольников.
3. \( \angle MAO = \angle MBO = 90^{\circ} \) — так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
4. Следовательно, \( \triangle MAO = \triangle MBO \) по гипотенузе и катету.
5. Из равенства треугольников следует, что \( MA = MB \).

Доказано.