1. Измерение и сравнение углов. Свойства измерения углов. Виды углов. Сделайте рисунок. 2. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите ∠MPN. 3. Сторона BC треугольника ABC продолжена за точку C. На продолжении отмечена точка D так, что AC = CD. Найдите величину угла DAC, если угол ABC равен 85°, а угол BAC равен 45°. Ответ дайте в градусах. 4. Укажите номера верных утверждений: 1) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°. 2) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3. 3) Через любую точку проходит не менее одной прямой.

Билет 4

1. Измерение и сравнение углов. Свойства измерения углов. Виды углов.

Для выполнения этого пункта необходимо сделать рисунки:

• Измерение угла: С помощью транспортира.
• Сравнение углов: Углы сравнивают наложением или по величине.
• Виды углов:
• Острый угол: больше 0°, но меньше 90°.
• Прямой угол: равен 90°.
• Тупой угол: больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол: равен 180°.
• Полный угол: равен 360°.
• Смежные углы: сумма равна 180°.
• Вертикальные углы: равны.

2. Нахождение ∠MPN.

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектриса AM делит угол BAC пополам, значит, ∠BAM = ∠MAC = 30°. Биссектриса CN делит угол BCA пополам, значит, ∠BCN = ∠NCA = 30°.

В треугольнике APN:

∠PAN = ∠BAC = 60° (так как треугольник равносторонний)

∠APN = 180° - ∠PAN - ∠PNA

∠PNA = ∠ANC = ∠BNC = 180° - ∠BCA - ∠CAN = 180° - 60° - 30° = 90°

∠APN = 180° - 60° - 90° = 30°

3. Нахождение ∠DAC.

В треугольнике ABC:

∠ABC = 85°

∠BAC = 45°

∠BCA = 180° - (85° + 45°) = 180° - 130° = 50°.

Угол ACD — развёрнутый, равен 180°.

∠ACD = ∠BCA + ∠BCA = 180°

50° + ∠BCA = 180°

∠BCA = 130°

Рассмотрим треугольник ACD:

AC = CD (по условию)

Значит, треугольник ACD — равнобедренный.

Углы при основании равны: ∠CAD = ∠CDA.

∠ACD = 180° - ∠BCA = 180° - 50° = 130°.

Сумма углов в треугольнике ACD:

∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°

2 * ∠CAD + 130° = 180°

2 * ∠CAD = 50°

∠CAD = 25°.

Ответ: 25°.

4. Верные утверждения:

1) Неверно. Смежный с углом 120° равен 180° - 120° = 60°.

2) Верно. Если расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, то любая наклонная (кроме перпендикуляра) будет гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого — это перпендикуляр. Следовательно, наклонная будет длиннее перпендикуляра.

3) Верно. Это одна из аксиом геометрии.

Ответ: 2, 3.