1. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырехугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Доказательство:

Так как около четырехугольника ABCD можно описать окружность, то он является вписанным. В этом случае сумма противоположных углов равна 180 градусов:

• \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} \)
• \( \angle B + \angle D = 180^{\circ} \)

Рассмотрим углы \( \angle MDA \) и \( \angle MBC \).

Угол \( \angle MDA \) является внешним углом треугольника ABCD при вершине D. Сумма смежных углов равна 180 градусов, значит:

• \( \angle ADC + \angle MDA = 180^{\circ} \)

Также, для вписанного четырехугольника ABCD, сумма противоположных углов равна 180 градусов:

• \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \)

Из этих двух равенств следует, что:

• \( \angle MDA = \angle ABC \)

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle MBC \) и \( \triangle MDA \).

• Угол \( \angle M \) является общим для обоих треугольников.
• Угол \( \angle MBC \) равен углу \( \angle MDA \) (мы доказали это выше, \( \angle MDA = \angle ABC \)).

Таким образом, два треугольника подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Следовательно, \( \triangle MBC \sim \triangle MDA \).

Что и требовалось доказать.