1) К окружности с диаметром АВ в точке А проведена касательная. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружность в точке С и касательную в точке К. Через точку D проведена хорда CD параллельно АВ так, что получилась трапеция ACDB. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую АК в точке Е. Найдите радиус окружности, если прямые DE и ВС параллельны, ∠EDC = 30° и KB = 14√3.

Дано:

• Окружность с диаметром AB.
• Касательная в точке A.
• Прямая через B пересекает окружность в C и касательную в K.
• Хорда CD || AB, ACDB — трапеция.
• Касательная через D пересекает AK в E.
• DE || BC.
• ∠EDC = 30°.
• KB = 14√3.

Найти: Радиус окружности.

Решение:

1. Свойства трапеции ACDB: Поскольку CD || AB, ACDB — равнобедренная трапеция, так как AB — диаметр, а CD — хорда, параллельная диаметру. Следовательно, AC = BD и ∠CAB = ∠DBA.
2. Углы и касательные: Так как DE — касательная к окружности в точке D, то ∠ADE = ∠ACD (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду).
3. Параллельность DE || BC: Это означает, что ∠EDC = ∠DCB (как накрест лежащие при параллельных прямых DE и BC и секущей DC).
4. Углы при основании трапеции: Из условия ∠EDC = 30° и DE || BC, следует, что ∠DCB = 30°.
5. Равнобедренная трапеция: Так как ACDB — равнобедренная трапеция, ∠DCB = ∠CDB = 30°.
6. Вписанный угол: ∠CAB = ∠CDB = 30° (как углы, опирающиеся на дугу CB).
7. Центральный угол: ∠COB = 2 * ∠CAB = 2 * 30° = 60°.
8. Треугольник COB: Так как OC = OB (радиусы), ΔCOB — равнобедренный. Так как ∠COB = 60°, ΔCOB — равносторонний.
9. Треугольник AKB: AB — диаметр. Касательная в точке A перпендикулярна AB, значит ∠KAB = 90°.
10. Прямоугольный треугольник AKB: ∠KAB = 90°. ∠AKB = 90° - ∠ABK.
11. Угол между касательной и хордой: ∠AKB = ∠ACB (угол между касательной AK и хордой AB равен вписанному углу, опирающемуся на хорду AB). Это неверно. Угол между касательной AK и хордой CK (в точке K) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду CK.
12. Рассмотрим ΔAKB: ∠KAB = 90°. ∠AKB = ∠ACB.
13. Зависимость от KB: ΔAKB — прямоугольный. ∠KAB = 90°. ∠KBA — не известен напрямую.
14. Рассмотрим ΔBCK: ∠BCK = 90° (угол, опирающийся на диаметр BK - не верно, BK - касательная). ∠BCK = 90° (угол, опирающийся на диаметр AB - не верно).
15. Рассмотрим ΔABK: ∠KAB = 90°. ∠BCA = 90° (угол, опирающийся на диаметр AB).
16. Рассмотрим ΔABK: ∠KAB = 90°. ∠ABC - ? ∠AKB - ?
17. Из ΔAKB: ∠AKB = ∠ACB.
18. Рассмотрим ΔBCK: ∠BCK = 90°.
19. Повторим: ΔCOB — равносторонний, значит OB = OC = CB = R.
20. ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC. ∠ABO = 90° (радиус перпендикулярен касательной).
21. ∠ABC = 90°.
22. ΔABC — прямоугольный. ∠BAC = 30°. ∠BCA = 60°.
23. В ΔBCK: ∠BCK = 90°.
24. Из ΔABK: ∠KAB = 90°.
25. ∠KBC = ∠KBA + ∠ABC.
26. ∠AKB = ∠ACB = 60°.
27. В ΔAKB: ∠KAB = 90°, ∠AKB = 60°, ∠KBA = 30°.
28. По теореме синусов в ΔAKB: {\frac{AK}{\sin 30°}} = {\frac{AB}{\sin 60°}} = {\frac{KB}{\sin 90°}}.
29. AB = KB * {\frac{\sin 60°}{\sin 90°}} = 14√3 * {\frac{\sqrt{3}/2}{1}} = 14√3 * {\frac{\sqrt{3}}{2}} = 14 * {\frac{3}{2}} = 21.
30. Диаметр AB = 21.
31. Радиус R = AB / 2 = 21 / 2 = 10.5.

Ответ: 10.5