1°. К окружности с центром О проведены касательные МК и МР (К и Р — точки касания). Найдите ∠КМР, если ∠КОМ = 70°. 1) 70° 2) 20° 3) 40° 4) 140°

Решение:

• Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны: МК = МР.
• Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠МКО = ∠МРО = 90°.
• Рассмотрим треугольник КОМ. В нем ∠КОМ = 70°, ∠МКО = 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠КМО = 180° - 90° - 70° = 20°.
• Аналогично, в треугольнике МОР, ∠МРО = 90°, ∠МОР = ∠КОМ = 70° (по условию), тогда ∠КМО = 20°.
• Угол ∠КМР является суммой углов ∠КМО и ∠РМО: ∠КМР = ∠КМО + ∠РМО = 20° + 20° = 40°.

Ответ: 40°