1. Как известно, девятнадцатилетний Михаил Ломоносов отправился из Холмогор (Архангельская область) в Москву для поступления в Славяно-греко-латинскую академию. Первые три дня пути он шёл, догоняя обоз, который отправился из Холмогор. Сколько километров прошёл М. Ломоносов, догоняя обоз, если в первый день он преодолел 29/10 всего пути, во второй день 4/5 пути, пройденного в первый день, а в третий день — остальные 66 км?

Решение:

Обозначим весь путь, который должен был пройти М. Ломоносов, за x км.

• Первый день: Ломоносов прошёл \( \frac{29}{10} \) всего пути, что составляет \( \frac{29}{10}x \) км.
• Второй день: Ломоносов прошёл \( \frac{4}{5} \) пути, пройденного в первый день. Это равно \( \frac{4}{5} \cdot \frac{29}{10}x = \frac{116}{50}x = \frac{58}{25}x \) км.
• Третий день: Ломоносов прошёл оставшиеся 66 км.

Общий путь равен сумме расстояний, пройденных за три дня:

• \( \frac{29}{10}x + \frac{58}{25}x + 66 = x \)

Чтобы решить это уравнение, приведём дроби к общему знаменателю 50:

• \( \frac{29 \cdot 5}{10 \cdot 5}x + \frac{58 \cdot 2}{25 \cdot 2}x + 66 = x \)
• \( \frac{145}{50}x + \frac{116}{50}x + 66 = x \)
• \( \frac{261}{50}x + 66 = x \)

Перенесём члены с x в одну сторону:

• \( 66 = x - \frac{261}{50}x \)
• \( 66 = \frac{50}{50}x - \frac{261}{50}x \)
• \( 66 = -\frac{211}{50}x \)

Это условие некорректно, так как расстояние не может быть отрицательным. Вероятно, в условии задачи опечатка.

Предположим, что в первый день он прошёл 2/10 всего пути:

Решение (исправленное):

• Первый день: \( \frac{2}{10}x = \frac{1}{5}x \) км.
• Второй день: \( \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}x = \frac{4}{25}x \) км.
• Третий день: 66 км.

Суммируем пройденные расстояния:

• \( \frac{1}{5}x + \frac{4}{25}x + 66 = x \)

Приведём к общему знаменателю 25:

• \( \frac{5}{25}x + \frac{4}{25}x + 66 = x \)
• \( \frac{9}{25}x + 66 = x \)

Перенесём члены с x в одну сторону:

• \( 66 = x - \frac{9}{25}x \)
• \( 66 = \frac{25}{25}x - \frac{9}{25}x \)
• \( 66 = \frac{16}{25}x \)

Теперь найдём x:

• \( x = 66 \cdot \frac{25}{16} \)
• \( x = \frac{1650}{16} = \frac{825}{8} = 103.125 \) км.

Расстояние, пройденное в первый день: \( \frac{1}{5} \cdot 103.125 = 20.625 \) км.

Расстояние, пройденное во второй день: \( \frac{4}{25} \cdot 103.125 = 16.5 \) км.

Проверка: \( 20.625 + 16.5 + 66 = 103.125 \) км.

Финальный ответ (с учётом исправленной дроби):

Ответ: 103.125 км