1. Какие отрезки касательных равны?

Задание 1. Отрезки касательных

Дано:

• Треугольник ABC, в который вписана окружность.
• Точки касания: P на AC, S на AB, Q на BC.
• O - центр окружности.
• AB = 12.
• AC = 10.
• BQ = 6.

Найти: CQ.

Решение:

По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны:

• AS = AP
• BS = BQ
• CQ = CP

1. Находим отрезки касательных, исходящие из точки B:

Из условия известно, что BQ = 6. По свойству касательных, BS = BQ. Следовательно, BS = 6.

2. Находим отрезок AB:

AB = AS + SB. Известно, что AB = 12 и SB = 6. Значит, AS = AB - SB = 12 - 6 = 6.

3. Находим отрезок AC:

AC = AP + PC. Из условия известно, что AC = 10. По свойству касательных, AP = AS. Мы нашли, что AS = 6, следовательно, AP = 6.

4. Находим отрезок CQ:

CQ = AC - AP. Так как AC = 10 и AP = 6, то CQ = 10 - 6 = 4.

5. Проверка:

По свойству касательных, CQ = CP. Мы нашли, что CQ = 4. Значит, CP = 4.

Проверим равенство отрезков: BS = BQ = 6; AS = AP = 6; CQ = CP = 4.

Ответ: Отрезки касательных, исходящие из одной вершины, равны.

AS = AP

BS = BQ

CQ = CP

Ответ: 4