1. Какое количество теплоты было затрачено на плавление льда? 2. Какова была начальная температура t долитой воды? 3. Каков диапазон возможной начальной температуры долитой воды, если абсолютная погрешность измерения массы льда составляет Дт₁ = 0,2 г, а масса долитой воды измерялась с точностью є = 1% (т. е. могла быть на 1% как больше, так и меньше указанного значения)? Остальные величины известны точно.

Решение:

Определим количество теплоты, затраченное на плавление льда (Q), по формуле:

\[ Q = \lambda \cdot m_{\text{л}} \]

где:

• \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, равная 330 кДж/кг;
• \(m_{\text{л}}\), — масса растаявшего льда, равная 7,6 г.

Переведем массу льда в килограммы:

\[ m_{\text{л}} = 7.6 \text{ г} = 0.0076 \text{ кг} \]

Рассчитаем количество теплоты:

\[ Q = 330 \cdot 1000 \text{ Дж/кг} \cdot 0.0076 \text{ кг} = 2508 \text{ Дж} \]

Ответ на 1 вопрос: 2508 Дж

Для определения начальной температуры долитой воды (t) используем уравнение теплового баланса. В данном случае теплота, выделившаяся при остывании воды, идет на плавление льда:

\[ c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}} \cdot (T_{\text{кон}} - t) = \lambda \cdot m_{\text{л}} \]

где:

• \(c_{\text{в}}\), — удельная теплоёмкость воды, равная 4200 Дж/(кг·°С);
• \(m_{\text{в}}\), — масса долитой воды;
• \(T_{\text{кон}}\), — конечная температура (0°С, так как образовался лед);
• \(t\) — начальная температура долитой воды.

Необходимо найти массу долитой воды. В условии сказано, что масса льда уменьшилась на 7,6 г, это означает, что именно эта масса льда растаяла. Предполагается, что вся эта масса растаяла за счет теплоты, полученной от долитой воды. Это возможно, если вода была долита к смеси льда и воды, и она отдала тепло для плавления льда. Однако, в условии задачи сказано: "В сосуд со смесью льда и воды доливают воду массой m₃ = 40 г". Примем m₃ как массу долитой воды.

Дано:

• \(m_{\text{л}} = 7.6 \text{ г} = 0.0076 \text{ кг}\)
• \(\lambda = 330 \cdot 1000 \text{ Дж/кг}\)
• \(c_{\text{в}} = 4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)}\)
• \(m_3 = 40 \text{ г} = 0.04 \text{ кг}\)
• \(T_{\text{кон}} = 0 °\text{С}\)

Рассчитаем количество теплоты, которое нужно для плавления 7,6 г льда:

\[ Q_{\text{плавления}} = \lambda \cdot m_{\text{л}} = 330000 \text{ Дж/кг} \cdot 0.0076 \text{ кг} = 2508 \text{ Дж} \]

Это количество теплоты было отдано водой. Уравнение теплового баланса:

\[ c_{\text{в}} \cdot m_3 \cdot (T_{\text{кон}} - t) = Q_{\text{плавления}} \]

\[ 4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)} \cdot 0.04 \text{ кг} \cdot (0 °\text{С} - t) = 2508 \text{ Дж} \]

\[ 168 \text{ Дж/}°\text{С} \cdot (-t) = 2508 \text{ Дж} \]

\[ -168 \text{ Дж/}°\text{С} \cdot t = 2508 \text{ Дж} \]

\[ t = - \frac{2508}{168} °\text{С} \approx -14.93 °\text{С} \]

Ответ на 2 вопрос: Начальная температура долитой воды примерно -14.93 °С.

Теперь найдем диапазон возможной начальной температуры долитой воды, учитывая погрешность.

Масса долитой воды измерялась с точностью \(\epsilon = 1\%%\). Это значит, что фактическая масса воды \(m_{3\text{факт}}\)

\[ m_{3\text{факт}} = m_3 \pm m_3 \cdot \epsilon \]

\[ m_{3\text{факт}} = 0.04 \text{ кг} \pm 0.04 \text{ кг} \cdot 0.01 \]

\[ m_{3\text{факт}} = 0.04 \text{ кг} \pm 0.0004 \text{ кг} \]

Таким образом, масса воды может быть:

• Минимальная масса: \(m_{3\text{мин}} = 0.04 - 0.0004 = 0.0396 \text{ кг}\)
• Максимальная масса: \(m_{3\text{макс}} = 0.04 + 0.0004 = 0.0404 \text{ кг}\)

Погрешность измерения массы льда \( \Delta m_{\text{л}} = 0.2 \text{ г} = 0.0002 \text{ кг}\). Значит, фактическая масса растаявшего льда может быть:

• Минимальная масса льда: \(m_{\text{л\_мин}}} = 0.0076 - 0.0002 = 0.0074 \text{ кг}\)
• Максимальная масса льда: \(m_{\text{л\_макс}}} = 0.0076 + 0.0002 = 0.0078 \text{ кг}\)

Теперь рассчитаем минимальную и максимальную начальную температуру воды, используя уравнение теплового баланса \( c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}} \cdot (T_{\text{кон}} - t) = Q_{\text{плавления}} \). Будем считать \(T_{\text{кон}} = 0 °\text{С}\).

\[ t = T_{\text{кон}} - \frac{Q_{\text{плавления}}}{c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}}} \]

Минимальная температура (t_min):

Чтобы получить минимальную температуру, нам нужна максимальная теплота плавления (максимальная масса льда) и минимальная масса воды:

\[ Q_{\text{плавления\_макс}}} = \lambda \cdot m_{\text{л\_макс}}} = 330000 \text{ Дж/кг} \cdot 0.0078 \text{ кг} = 2574 \text{ Дж} \]

\[ t_{\text{мин}} = 0 °\text{С} - \frac{2574 \text{ Дж}}{4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)} \cdot 0.0396 \text{ кг}} \]

\[ t_{\text{мин}} = 0 °\text{С} - \frac{2574}{166.32} °\text{С} \approx -15.48 °\text{С} \]

Максимальная температура (t_max):

Чтобы получить максимальную температуру, нам нужна минимальная теплота плавления (минимальная масса льда) и максимальная масса воды:

\[ Q_{\text{плавления\_мин}}} = \lambda \cdot m_{\text{л\_мин}}} = 330000 \text{ Дж/кг} \cdot 0.0074 \text{ кг} = 2442 \text{ Дж} \]

\[ t_{\text{макс}} = 0 °\text{С} - \frac{2442 \text{ Дж}}{4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)} \cdot 0.0404 \text{ кг}} \]

\[ t_{\text{макс}} = 0 °\text{С} - \frac{2442}{170.08} °\text{С} \approx -14.36 °\text{С} \]

Ответ на 3 вопрос: Диапазон возможной начальной температуры долитой воды от -15.48 °С до -14.36 °С.