1. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? 2. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. 3. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC=BD. Найдите величину угла BCD, если угол BAC равен 35°. 4. Укажите номера верных утверждений: 1) Все диаметры окружности равны между собой. 2) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 180°. 3) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

Решение:

1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике можно провести три медианы.

2. Найдём угол ACB:

1. В треугольнике ALC сумма углов равна 180°: \( \angle CAL + \angle ACL + \angle ALC = 180° \).
2. Так как AL — биссектриса, \( \angle CAL = \frac{1}{2} \angle BAC \).
3. \( \angle ACL = \angle ACB \).
4. \( \angle CAL + \angle ACB + 112° = 180° \) \( \Rightarrow \angle CAL + \angle ACB = 68° \).
5. В треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
6. \( \angle BAC = 2 \angle CAL \).
7. \( 2 \angle CAL + 106° + \angle ACB = 180° \) \( \Rightarrow 2 \angle CAL + \angle ACB = 74° \).
8. Решим систему уравнений:
   • \( \angle CAL + \angle ACB = 68° \)
   • \( 2 \angle CAL + \angle ACB = 74° \)
9. Вычтем первое уравнение из второго: \( (2 \angle CAL + \angle ACB) - (\angle CAL + \angle ACB) = 74° - 68° \) \( \Rightarrow \angle CAL = 6° \).
10. Тогда \( \angle ACB = 68° - \angle CAL = 68° - 6° = 62° \).

3. Найдём величину угла BCD:

1. В равнобедренном треугольнике BCD (BC = BD) углы при основании равны: \( \angle BCD = \angle BDC \).
2. Сумма углов в треугольнике BCD: \( \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180° \).
3. \( \angle CBD = 180° - \angle ABC = 180° - 106° = 74° \) (как смежные углы).
4. \( 74° + 2 \angle BCD = 180° \) \( \Rightarrow 2 \angle BCD = 106° \) \( \Rightarrow \angle BCD = 53° \).

4. Верные утверждения:

1. 1) Все диаметры окружности равны между собой. (Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Все радиусы равны, а диаметр равен двум радиусам, поэтому все диаметры равны).
2. 3) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части. (В равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из вершины, совпадают).

Ответ: 1. Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Медиан — три. 2. \( \angle ACB = 62° \). 3. \( \angle BCD = 53° \). 4. 1, 3.