1. Какую цифру можно написать вместо звёздочки так, чтобы число: (а) 269* делилось на 4? (б) 2*45 делилось на 9? (в) 2*45 делилось на 5? (г) 5417* делилось на 6? Во всех пунктах этой задачи необходимо найти все возможные ответы и доказать, что других ответов нет.

а) Число делится на 4, если число из его последних двух цифр делится на 4. Из чисел от 90 до 99, оканчивающихся на 9, на 4 делятся 92 и 96. Значит, вместо звёздочки можно поставить 2 или 6.

б) Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр равна \(2+*+4+5=11+*\). Чтобы она делилась на 9, цифра должна быть 7: \(11+7=18\). Других цифр от 0 до 9, дающих сумму, кратную 9, нет.

в) Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. Последняя цифра числа уже равна 5, поэтому вместо звёздочки подходит любая цифра от 0 до 9.

г) Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. Последняя цифра должна быть чётной, а сумма цифр \(5+4+1+7+*=17+*\) — делиться на 3. Из чётных цифр только 4 даёт сумму, делящуюся на 3: \(17+4=21\).

Ответ: а) 2, 6; б) 7; в) любая цифра от 0 до 9; г) 4.