1) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 4:11, а его площадь равна 270. Найдите длину большего катета.

Пусть катеты равны \(4x\) и \(11x\). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\(\frac{1}{2}\cdot 4x\cdot 11x=270\).

Отсюда \(22x^2=270\), значит \(x^2=\frac{135}{11}\). Так как длина положительна, \(x=\sqrt{\frac{135}{11}}\).

Больший катет равен \(11x=\sqrt{1485}=3\sqrt{165}\).

Ответ: \(3\sqrt{165}\).