1. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите гипотенузу этого треугольника. 2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 78°, угол CAD равен 40°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 3. Основания трапеции равны 2 и 6, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции. 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. 5. Какие из следующих утверждений верны? 1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 2) Все диаметры окружности равны между собой. 3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Задание 1. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Катет \(a = 9\)
• Катет \(b = 12\)

Найти: гипотенузу \(c\)

Решение:

Используем теорему Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \)

Подставляем значения:

\[ c^2 = 9^2 + 12^2 \]

\[ c^2 = 81 + 144 \]

\[ c^2 = 225 \]

\[ c = \sqrt{225} = 15 \]

Ответ: 15

Задание 2. Угол вписанного четырёхугольника

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \( ∠ ABD = 78^° \)
• \( ∠ CAD = 40^° \)

Найти: \( ∠ ABC \)

Решение:

Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то противоположные углы в сумме дают 180°. Однако, это свойство касается углов при вершинах (например, \( ∠ ABC + ∠ ADC = 180^° \) и \( ∠ BAD + ∠ BCD = 180^° \)).

Углы \( ∠ ABD \) и \( ∠ ACD \) опираются на одну дугу AD, поэтому \( ∠ ACD = ∠ ABD = 78^° \).

Углы \( ∠ CAD \) и \( ∠ CBD \) опираются на одну дугу CD, поэтому \( ∠ CBD = ∠ CAD = 40^° \).

Угол \( ∠ ABC \) состоит из углов \( ∠ ABD \) и \( ∠ CBD \):

\[ ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD \]

\[ ∠ ABC = 78^° + 40^° = 118^° \]

Ответ: 118

Задание 3. Средняя линия трапеции

Дано:

• Основания трапеции \( a = 2 \) и \( b = 6 \)
• Высота \( h = 3 \)

Найти: среднюю линию \( m \)

Решение:

Средняя линия трапеции находится по формуле:

\[ m = \frac{a + b}{2} \]

Подставляем значения:

\[ m = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Высота трапеции не используется для нахождения средней линии.

Ответ: 4

Задание 4. Площадь параллелограмма

Дано:

• Клетка размером 1x1.
• Параллелограмм изображён на клетчатой бумаге.

Найти: площадь параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма можно найти, посчитав количество полных клеток внутри фигуры и добавив площади, которые занимают части клеток. Удобнее всего достроить параллелограмм до прямоугольника и вычесть площади двух прямоугольных треугольников по краям.

В данном случае, если провести высоту параллелограмма, она будет равна 2 клеткам (так как верхняя и нижняя точки параллелограмма находятся на расстоянии 2 клеток по вертикали). Основание параллелограмма равно 4 клеткам.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

\[ S = \text{основание} \times \text{высота} \]

\[ S = 4 \times 2 = 8 \]

Ответ: 8

Задание 5. Верные утверждения

Анализ утверждений:

1. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Это верно только для параллелограмма. У произвольной трапеции диагонали пересекаются, но не делятся пополам. Поэтому утверждение неверно.
2. Все диаметры окружности равны между собой. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Любые два диаметра одной окружности равны. Поэтому утверждение верно.
3. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. Это утверждение неверно. Например, в равнобедренном треугольнике углы при основании могут быть по 80°, а угол при вершине 20°. Или в прямоугольном треугольнике один угол 90°, а два других острые (например, 45° и 45°, или 30° и 60°, или 70° и 20°).

Вывод: Верным является только второе утверждение.

Ответ: 2