1. Контрольная работа по геометрии 7 к Вариант А1. 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C=55°, а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный. б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите длину стороны АВ, если основание АС = 10 см. 2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О, которая лежит на середине отрезка AB. Докажите, что △AOC = △BOD. Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике периметр равен 64 см, а длина основания 24 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Вариант А1

1.

Дано: △ABC, \( \angle A = 70^\circ \), \( \angle C = 55^\circ \), BM — высота, AC = 10 см.

Доказать: △ABC — равнобедренный.

Решение:

1. Найдем \( \angle B \) в △ABC: \( \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 70^\circ - 55^\circ = 55^\circ \).
2. Так как \( \angle B = \angle C = 55^\circ \), то △ABC — равнобедренный с основанием AC.
3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Значит, \( AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см} \).
4. Рассмотрим прямоугольный △ABM. \( \angle BAM = 70^\circ \), \( \angle AMB = 90^\circ \), \( AM = 5 \text{ см} \).
5. Найдем длину стороны AB: \( \cos(\angle A) = \frac{AM}{AB} \) \( \Rightarrow AB = \frac{AM}{\cos(\angle A)} = \frac{5}{\cos(70^\circ)} \).

Ответ: △ABC — равнобедренный, \( AB = \frac{5}{\cos(70^\circ)} \text{ см} \).

2.

Дано: AB ∩ CD = O, AO = OB, \( \angle ODB = 20^\circ \), \( \angle AOC = 115^\circ \).

Доказать: △AOC = △BOD.

Решение:

1. Так как AO = OB (по условию) и ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы), то △AOC = △BOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
2. В равных треугольниках △AOC и △BOD: \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).
3. По условию \( \angle ODB = 20^\circ \), следовательно, \( \angle OCA = 20^\circ \).
4. Найдем \( \angle OAC \). Рассмотрим △AOC. \( \angle AOC = 115^\circ \), \( \angle OCA = 20^\circ \).
5. \( \angle OAC = 180^\circ - \angle AOC - \angle OCA = 180^\circ - 115^\circ - 20^\circ = 45^\circ \).

Ответ: △AOC = △BOD. \( \angle OAC = 45^\circ \).

3.

Дано: △ABC — равнобедренный, P = 64 см, основание AC = 24 см.

Найти: длину боковой стороны (AB).

Решение:

1. Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин трех сторон: \( P = AB + BC + AC \).
2. Так как △ABC — равнобедренный, то боковые стороны равны: \( AB = BC \).
3. Подставим известные значения: \( 64 = AB + AB + 24 \).
4. Решим уравнение: \( 2AB = 64 - 24 \) \( \Rightarrow 2AB = 40 \) \( \Rightarrow AB = 20 \) см.

Ответ: Длина боковой стороны треугольника равна 20 см.