1. Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-5.

Вариант А1

1. В треугольнике ABC \( \angle A = 70^{\circ} \), \( \angle C = 55^{\circ} \).

Решение:

1. а) Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle B \): \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 55^{\circ} = 55^{\circ} \). Так как \( \angle B = \angle C = 55^{\circ} \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC.


2. б) Отрезок BM — высота треугольника ABC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит угол ABC пополам. \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle B}{2} = \frac{55^{\circ}}{2} = 27.5^{\circ} \).

Ответ: а) Треугольник равнобедренный, основание BC. б) Высота делит угол ABC на углы \( 27.5^{\circ} \) и \( 27.5^{\circ} \).

2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них.

1. а) Докажите, что \( \triangle AOC = \triangle BOD \).


2. б) Найдите \( \angle OAC \), если \( \angle ODB = 20^{\circ} \), \( \angle AOC = 115^{\circ} \).

Решение:

1. а) Так как O — середина AB, то \( AO = BO \). Так как O — середина CD, то \( CO = DO \). Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) являются вертикальными, поэтому \( \angle AOC = \angle BOD \). По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AOC = \triangle BOD \).


2. б) Из равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \). Так как \( \angle ODB = 20^{\circ} \), то \( \angle OCA = 20^{\circ} \). В треугольнике AOC, сумма углов равна \( 180^{\circ} \). \( \angle OAC = 180^{\circ} - \angle AOC - \angle OCA = 180^{\circ} - 115^{\circ} - 20^{\circ} = 45^{\circ} \).

Ответ: а) Доказано. б) \( \angle OAC = 45^{\circ} \).

3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Решение:

Пусть в равнобедренном треугольнике стороны равны \( a, a, b \). Периметр \( P = 2a + b \). Дано \( P = 64 \) см.

Случай 1: Боковая сторона \( a = 16 \) см.

Тогда \( 2 \cdot 16 + b = 64 \) \( 32 + b = 64 \) \( b = 64 - 32 = 32 \) см. Треугольник с такими сторонами существует, так как \( 16 + 16 > 32 \) — неверно. Треугольник не существует. Ой! Неправильно. Сумма двух сторон должна быть больше третьей. \( 16 + 16 = 32 \), что не больше 32. Треугольник с такими сторонами не существует.

Случай 2: Основание \( b = 16 \) см.

Тогда \( 2a + 16 = 64 \) \( 2a = 64 - 16 \) \( 2a = 48 \) \( a = 24 \) см. Проверим условие существования треугольника: \( 24 + 24 > 16 \) (48 > 16 — верно). \( 24 + 16 > 24 \) (40 > 24 — верно). Такой треугольник существует.

Ответ: Боковая сторона равна 24 см.

Вариант А2

1. В треугольнике ABC \( \angle A = 100^{\circ} \), \( \angle C = 40^{\circ} \).

Решение:

Найдем \( \angle B \): \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ} \).

Так как \( \angle B = \angle C = 40^{\circ} \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC.

Ответ: Треугольник равнобедренный, основание BC.