1. Кошки-мышки. В углу B складского корпуса сидит мышь. На расстоянии 10 м от угла B есть входные ворота шириной 4 м. Ровно посередине проёма ворот (точка A) в склад заходит кот. Мышь и кот одновременно увидели друг друга и мышь начала убегать вдоль стены к спасительной щели D со скоростью 3,5 м/с. Кот побежал за мышкой с постоянной скоростью 12,5 м/с и догнал её в точке C. А) Сколько времени длилась погоня? Б) Какое расстояние успела пробежать мышь? В) Какое расстояние пробежал кот? Г) Под каким углом к стене BD бежал кот?

Примем по рисунку, что 10 м — расстояние от угла B до ближайшего края ворот. Тогда от середины ворот A до B: AB = 10 + 4 : 2 = 12 м. Если же 10 м обозначает расстояние AB, числовые ответы будут другими.

Пусть t — время погони, а BC — путь мыши вдоль стены. Тогда BC = 3,5t, AC = 12,5t. Треугольник ABC прямоугольный, поэтому AC² = AB² + BC².

Подставим данные: (12,5t)² = 12² + (3,5t)²; (156,25 − 12,25)t² = 144; 144t² = 144; t = 1 с.

А) Погоня длилась 1 с.

Б) Мышь пробежала BC = 3,5 · 1 = 3,5 м.

В) Кот пробежал AC = 12,5 · 1 = 12,5 м.

Г) Для угла α между траекторией кота AC и стеной BD: sin α = AB / AC = 12 / 12,5 = 0,96. Следовательно, α ≈ 73,7°.

Ответ: А) 1 с; Б) 3,5 м; В) 12,5 м; Г) примерно 73,7°.