1. \(\left(2-\frac{x^{2}+2x}{3}\right)\left(4-\frac{x^{2}+2x}{3}\right)=3\)

Краткая запись:

• Дано уравнение: \(\left(2-\frac{x^{2}+2x}{3}\right)\left(4-\frac{x^{2}+2x}{3}\right)=3\)
• Найти: Значение \(x\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введём замену переменной. Пусть \( y = \frac{x^{2}+2x}{3} \). Тогда уравнение примет вид: \( (2-y)(4-y) = 3 \).
2. Шаг 2: Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:
   \( 8 - 2y - 4y + y^{2} = 3 \)
   \( y^{2} - 6y + 8 = 3 \)
   \( y^{2} - 6y + 5 = 0 \)
3. Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение относительно \(y\) с помощью дискриминанта:
   \( D = b^{2} - 4ac = (-6)^{2} - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 \)
   \( \sqrt{D} = 4 \)
   \( y_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
   \( y_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
4. Шаг 4: Вернёмся к исходной переменной \(x\), подставив найденные значения \(y\).
   Случай 1: \( y = 5 \)
   \( \frac{x^{2}+2x}{3} = 5 \)
   \( x^{2}+2x = 15 \)
   \( x^{2}+2x-15 = 0 \)
   \( D = 2^{2} - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \)
   \( \sqrt{D} = 8 \)
   \( x_{1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
   \( x_{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
   Случай 2: \( y = 1 \)
   \( \frac{x^{2}+2x}{3} = 1 \)
   \( x^{2}+2x = 3 \)
   \( x^{2}+2x-3 = 0 \)
   \( D = 2^{2} - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)
   \( \sqrt{D} = 4 \)
   \( x_{3} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
   \( x_{4} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Ответ: \(x = 3, x = -5, x = 1, x = -3\)