1. \(\left(5\frac{3}{10} \cdot 2\frac{9}{17} + 7\frac{8}{17} \cdot 5\frac{3}{10}\right) \cdot \frac{9}{112}\)

Решение:

Вычислим значение выражения по действиям:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 5\frac{3}{10} = \frac{5 · 10 + 3}{10} = \frac{53}{10} \)
• \( 2\frac{9}{17} = \frac{2 · 17 + 9}{17} = \frac{34 + 9}{17} = \frac{43}{17} \)
• \( 7\frac{8}{17} = \frac{7 · 17 + 8}{17} = \frac{119 + 8}{17} = \frac{127}{17} \)
• \( 5\frac{3}{10} = \frac{5 · 10 + 3}{10} = \frac{53}{10} \)
2. Выполним умножение в скобках:
• \( 5\frac{3}{10} · 2\frac{9}{17} = \frac{53}{10} · \frac{43}{17} = \frac{53 · 43}{10 · 17} = \frac{2279}{170} \)
• \( 7\frac{8}{17} · 5\frac{3}{10} = \frac{127}{17} · \frac{53}{10} = \frac{127 · 53}{17 · 10} = \frac{6731}{170} \)
3. Выполним сложение в скобках:
• \( \frac{2279}{170} + \frac{6731}{170} = \frac{2279 + 6731}{170} = \frac{9010}{170} = \frac{901}{17} \)
4. Выполним умножение на \( \frac{9}{112} \):
• \( \frac{901}{17} · \frac{9}{112} = \frac{901 · 9}{17 · 112} = \frac{8109}{1904} \)
5. Сократим дробь, если возможно. Проверим делимость 8109 на 17 и 112. 8109 / 17 = 477. 1904 / 17 = 112.
6. \( \frac{477 · 9}{112} \)
7. \( \frac{901}{17} \) - это число неправильное. Не 8109.
8. \( 8109 \div 17 = 477 \)
9. \( 9010 · 9 \div 112 \)
10. \( \frac{901}{17} \) - здесь мы сократили \( \frac{9010}{170} \).
11. \( 9010 · 9 = 81090 \)
12. \( 170 · 112 = 19040 \)
13. \( \frac{81090}{19040} = \frac{8109}{1904} \)
14. Проверим возможность сокращения:
• \( 8109 = 9 · 901 \)
• \( 1904 = 16 · 119 = 16 · 7 · 17 \)
• \( 901 \) - простое число? 901 / 17 = 53.
• \( 8109 = 9 · 17 · 53 \)
• \( 1904 = 16 · 7 · 17 \)
• \( \frac{9 · 17 · 53}{16 · 7 · 17} = \frac{9 · 53}{16 · 7} = \frac{477}{112} \)
15. Переведём в смешанное число: \( \frac{477}{112} = 4\frac{29}{112} \)

Ответ: \( 4\frac{29}{112} \).