Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1) \(\log_2^2 x-9\log_8 x=4\). 2) \(16\log_{16}^2 x+3\log_4 x-1=0\). 3) \(\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=0\). 4) \(\log_3^2…Фото задания

Ответ:

  1. Пусть \(t=\log_2 x\), где \(x>0\). Тогда \(\log_8 x=\frac{t}{3}\), поэтому

    \[t^2-9\cdot\frac{t}{3}=4\quad\Longrightarrow\quad t^2-3t-4=0\quad\Longrightarrow\quad (t-4)(t+1)=0.\]

    Получаем \(t=4\) или \(t=-1\). Следовательно, \(x=2^4=16\) или \(x=2^{-1}=\frac12\).

  2. Пусть \(t=\log_4 x\), где \(x>0\). Поскольку \(\log_{16}x=\frac{t}{2}\), имеем

    \[16\left(\frac{t}{2}\right)^2+3t-1=0\quad\Longrightarrow\quad 4t^2+3t-1=0\quad\Longrightarrow\quad (4t-1)(t+1)=0.\]

    Значит, \(t=\frac14\) или \(t=-1\), откуда \(x=4^{1/4}=\sqrt2\) или \(x=4^{-1}=\frac14\).

  3. Основание первого логарифма на изображении читается как 3. Пусть \(t=\log_3 x\), где \(x>0\). Тогда \(\log_9 x=\frac{t}{2}\), поэтому

    \[t^2+5\cdot\frac{t}{2}-1.5=0\quad\Longrightarrow\quad 2t^2+5t-3=0\quad\Longrightarrow\quad (2t-1)(t+3)=0.\]

    Значит, \(t=\frac12\) или \(t=-3\). Следовательно, \(x=\sqrt3\) или \(x=\frac1{27}\).

  4. Пусть \(t=\log_3 x\), где \(x>0\). Так как \(\log_{27}x=\frac{t}{3}\), получаем

    \[t^2-15\cdot\frac{t}{3}+6=0\quad\Longrightarrow\quad t^2-5t+6=0\quad\Longrightarrow\quad (t-2)(t-3)=0.\]

    Отсюда \(t=2\) или \(t=3\), поэтому \(x=9\) или \(x=27\).

Ответ: 1) \(16,\frac12\); 2) \(\sqrt2,\frac14\); 3) \(\sqrt3,\frac1{27}\); 4) \(9,27\).