1) log₅ 8 - log₅ 2 + log₅ (25/4) 2) √5, 2 log₂ 3 3) 2 logₓ 32 - logₓ 256 - 2 logₓ 19 4) 2 (log₄₉ (12/7) - log₇ (1+9)) - 4 ³log₂₅

Привет! Давай разберемся с этими логарифмическими задачами. Я покажу тебе, как их решать, шаг за шагом.

1. log₅ 8 - log₅ 2 + log₅ (25/4)

Для начала вспомним свойства логарифмов:

• log_b(x) - log_b(y) = log_b(x/y)
• log_b(x) + log_b(y) = log_b(x*y)

Применим их к нашему выражению:

1. log₅ 8 - log₅ 2 = log₅ (8/2) = log₅ 4
2. log₅ 4 + log₅ (25/4) = log₅ (4 * 25/4) = log₅ 25
3. log₅ 25 = 2, потому что 5² = 25

Ответ: 2

2. √5, 2 log₂ 3

Здесь у нас два отдельных выражения:

1. √5 — это просто квадратный корень из пяти. Никаких упрощений здесь не требуется, если только не дано значение для приближенного вычисления.
2. 2 log₂ 3 — мы можем внести коэффициент перед логарифмом в показатель степени аргумента: 2 log₂ 3 = log₂ (3²) = log₂ 9

Ответ: √5, log₂ 9

3. 2 logₓ 32 - logₓ 256 - 2 logₓ 19

Здесь все аргументы логарифмов имеют одинаковое основание x. Используем те же свойства, что и в первом примере:

1. Вносим коэффициенты в показатели степени: 2 logₓ 32 = logₓ (32²) = logₓ 1024 и 2 logₓ 19 = logₓ (19²) = logₓ 361
2. Переписываем выражение: logₓ 1024 - logₓ 256 - logₓ 361
3. Объединяем: logₓ (1024 / 256) - logₓ 361 = logₓ 4 - logₓ 361
4. logₓ 4 - logₓ 361 = logₓ (4 / 361)

Ответ: logₓ (4/361)

4. 2 (log₄₉ (12/7) - log₇ (1+9)) - 4 ³log₂₅

Эта задача немного сложнее из-за разных оснований логарифмов и кубического корня:

1. Сначала упростим log₄₉ (12/7). Так как 49 = 7², то log₄₉(a) = log_{7²}(a) = (1/2) log₇(a). Поэтому log₄₉ (12/7) = (1/2) log₇ (12/7).
2. log₇ (1+9) = log₇ 10.
3. ³log₂₅ — это кубический корень из 25, который можно записать как 25^(1/3). Тогда 4 ³log₂₅ = 4 * 25^(1/3).
4. Подставляем упрощенные части в исходное выражение:

2 * [(1/2) log₇ (12/7) - log₇ 10] - 4 * 25^(1/3)

= log₇ (12/7) - 2 log₇ 10 - 4 * 25^(1/3)

= log₇ (12/7) - log₇ (10²) - 4 * 25^(1/3)

= log₇ (12/7) - log₇ 100 - 4 * 25^(1/3)

= log₇ ((12/7) / 100) - 4 * 25^(1/3)

= log₇ (12/700) - 4 * 25^(1/3)

= log₇ (3/175) - 4 * 25^(1/3)

Ответ: log₇ (3/175) - 4 * 25^(1/3)

Надеюсь, теперь все понятно! Если остались вопросы, спрашивай.