1. log5 (3x - 4) = log5 (12 – 5x). 2. log3 (x² + 3x - 7) = 1. 3. lg(x - 1) + lg(x + 1) = lg(9x + 9).

Решение:

1. Исходное уравнение:

   \[ \log_5(3x - 4) = \log_5(12 - 5x) \]

   ОДЗ:

   • \[ 3x - 4 > 0 \implies x > \frac{4}{3} \]
   • \[ 12 - 5x > 0 \implies x < \frac{12}{5} \]
   • Следовательно, \(\frac{4}{3} < x < \frac{12}{5}\).

   Решение:

   \[ 3x - 4 = 12 - 5x \] \[ 8x = 16 \] \[ x = 2 \]

   Проверка: 2 находится в интервале (4/3, 12/5). Значит, x = 2 является решением.

2. Исходное уравнение:

   \[ \log_3(x^2 + 3x - 7) = 1 \]

   ОДЗ:

   • \[ x^2 + 3x - 7 > 0 \]. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 7 = 0\):

     \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 28}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{37}}{2} \] Корни: \(x_1 = \frac{-3 - \sqrt{37}}{2} \approx -4.54\), \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{37}}{2} \approx 1.54\). Таким образом, \(x \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{37}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{37}}{2}; \infty)\).

   Решение:

   \[ x^2 + 3x - 7 = 3^1 \] \[ x^2 + 3x - 7 = 3 \] \[ x^2 + 3x - 10 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 10 = 0\):

   \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \] Корни: \(x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2\).

   Проверка:

   • Для \(x = -5\): \(-5 < -4.54\), значит, -5 входит в ОДЗ.
   • Для \(x = 2\): \(2 > 1.54\), значит, 2 входит в ОДЗ.

3. Исходное уравнение:

   \[ \lg(x - 1) + \lg(x + 1) = \lg(9x + 9) \]

   ОДЗ:

   • \[ x - 1 > 0 \implies x > 1 \]
   • \[ x + 1 > 0 \implies x > -1 \]
   • \[ 9x + 9 > 0 \implies x > -1 \]
   • Следовательно, \(x > 1\).

   Решение:

   Используем свойство логарифмов: \(\lg a + \lg b = \lg(ab)\).

   \[ \lg((x - 1)(x + 1)) = \lg(9x + 9) \] \[ \lg(x^2 - 1) = \lg(9x + 9) \] \[ x^2 - 1 = 9x + 9 \] \[ x^2 - 9x - 10 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 9x - 10 = 0\):

   \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{9 \pm 11}{2} \] Корни: \(x_1 = \frac{9 - 11}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{9 + 11}{2} = 10\).

   Проверка:

   • \(x = -1\) не входит в ОДЗ (\(x > 1\)).
   • \(x = 10\) входит в ОДЗ (\(10 > 1\)). Значит, x = 10 является решением.

Финальный ответ:

1. x = 2

2. x = -5, x = 2

3. x = 10