1. Луч BD проходит между сторонами ∥ABC. Чему равен ∥ABC, если ∥ABD и ∥DBC равны соответственно 64° и 23°. 2. Один из смежных углов прямой. Каким является другой угол? 3. Сколько углов, равных данному, можно отложить от любой полупрямой в заданную полуплоскость? 4. На сколько частей делит плоскость прямая? 5. Сколько прямых можно провести через две точки? 6. В равностороннем треугольнике: 7. Периметр равнобедренного треугольника 40 см, а боковая сторона 10 см. Чему равно основание? 8. В равнобедренном треугольнике один из углов при основании 40°. Чему равен угол между боковыми сторонами? 9. а) Назовите внутренние накрест лежащие углы б) Назовите соответственные углы 10. В четырехугольнике ABCD BC||AD. Найдите ∥C, если ∥A=40°, a ∥D=80°. 11. Отрезки AE и BC пересекаются в точке H, причем AH=CH, ∥BAH=∥ECH. Докажите, что треугольники HBA и HEC равны. 12. △ ABC - равнобедренный с основанием AC, AK - высота. Найдите ∥BAK, если ∥ACB=70°.

Задание 1. Угол ABC

Дано:

• ∥ABD = 64°
• ∥DBC = 23°

Найти: ∥ABC.

Решение:

∥ABC = ∥ABD + ∥DBC

∥ABC = 64° + 23° = 87°

Ответ: 87°

Задание 2. Смежные углы

Дано:

• Два смежных угла.
• Один из углов прямой (= 90°).

Найти: значение другого угла.

Решение:

Сумма смежных углов равна 180°.

Пусть один угол = 90°, тогда второй угол = 180° - 90° = 90°.

Ответ: 90° (прямой).

Задание 3. Равные углы от полупрямой

Ответ: 1 (можно отложить только один равный угол).

Задание 4. Деление плоскости прямой

Ответ: 2 (прямая делит плоскость на две части).

Задание 5. Прямые через две точки

Ответ: 1 (через две точки можно провести только одну прямую).

Задание 6. Свойства равностороннего треугольника

Ответ: 3 (все углы и все стороны равны).

Задание 7. Периметр равнобедренного треугольника

Дано:

• Периметр \( P = 40 \) см.
• Боковая сторона \( b = 10 \) см.

Найти: основание \( a \).

Решение:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Если основание равно 10 см, то боковые стороны равны \( (40 - 10) / 2 = 15 \) см. Если боковая сторона равна 10 см, то основание равно \( 40 - 10 - 10 = 20 \) см.

Ответ: 20 см.

Задание 8. Углы в равнобедренном треугольнике

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Угол при основании = 40°.

Найти: угол между боковыми сторонами.

Решение:

Углы при основании равны, значит, два угла по 40°. Сумма углов треугольника 180°. Угол между боковыми сторонами = 180° - 40° - 40° = 100°.

Ответ: 100°.

Задание 9. Углы

Ответ:

а) Внутренние накрест лежащие углы: ∥BAC и ∥ACD (если бы были параллельные прямые AB и CD, и секущая AC).

б) Соответственные углы: ∥BAC и ∥ACE (если бы были параллельные прямые AB и CE, и секущая AC).

Задание 10. Четырехугольник ABCD

Дано:

• ABCD - четырехугольник.
• BC||AD
• ∥A = 40°
• ∥D = 80°

Найти: ∥C.

Решение:

Так как BC||AD, то ABCD - трапеция. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

∥B + ∥A = 180° → ∥B = 180° - 40° = 140°.

∥C + ∥D = 180° → ∥C = 180° - 80° = 100°.

Ответ: 100°.

Задание 11. Доказательство равенства треугольников

Дано:

• △ HBA и △ HEC.
• AE и BC пересекаются в точке H.
• AH = CH
• ∥BAH = ∥ECH

Доказать: △ HBA = △ HEC.

Доказательство:

Рассмотрим △ HBA и △ HEC:

1. AH = CH (по условию).
2. ∥BAH = ∥ECH (по условию).
3. ∥AHB = ∥CHE (как вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (СТУДА, где С — сторона, Т — угол, У — угол, А — угол, Д — две, А — стороны) △ HBA = △ HEC.

Что и требовалось доказать.

Задание 12. Равнобедренный треугольник ABC

Дано:

• △ ABC - равнобедренный с основанием AC.
• AK - высота.
• ∥ACB = 70°.

Найти: ∥BAK.

Решение:

1. Так как △ ABC равнобедренный с основанием AC, то ∥BAC = ∥ACB = 70°.
2. AK - высота, значит, ∥AKB = 90°.
3. В △ AKC: ∥AKC = 90°, ∥ACK = 70°.
4. ∥CAK = 180° - 90° - 70° = 20°.
5. ∥BAK = ∥BAC - ∥CAK = 70° - 20° = 50°.

Ответ: 50°.