1. Луч OB делит угол AOC на два угла. а) Вариант A1: найдите углы AOB и BOC, если ∠AOC = 140°, а угол AOB в 3 раза больше угла BOC. Вариант A2: найдите углы AOB и BOC, если ∠AOC = 120°, а угол AOB в 5 раз меньше угла BOC. б) Луч OD — биссектриса угла AOC. Найдите угол BOD.

Вариант A1

Обозначим величину угла BOC через \(x\). Тогда \(\angle AOB=3x\).

Так как луч OB делит угол AOC, то \(\angle AOB+\angle BOC=\angle AOC\):

\(3x+x=140°\),
\(4x=140°\),
\(x=35°\).

Следовательно, \(\angle BOC=35°\), а \(\angle AOB=3\cdot35°=105°\).

Луч OD — биссектриса угла AOC, поэтому \(\angle AOD=\angle DOC=140°:2=70°\). Так как \(\angle AOB=105°\), получаем:

\(\angle BOD=105°-70°=35°\).

Ответ: A1: \(\angle AOB=105°\), \(\angle BOC=35°\), \(\angle BOD=35°\).

Вариант A2

Обозначим величину угла AOB через \(x\). Тогда \(\angle BOC=5x\).

\(x+5x=120°\),
\(6x=120°\),
\(x=20°\).

Следовательно, \(\angle AOB=20°\), а \(\angle BOC=5\cdot20°=100°\).

Так как OD — биссектриса угла AOC, то \(\angle AOD=120°:2=60°\). Поэтому:

\(\angle BOD=60°-20°=40°\).

Ответ: A2: \(\angle AOB=20°\), \(\angle BOC=100°\), \(\angle BOD=40°\).