1. M, N, K — середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC, \(\overrightarrow{AM}=\vec a\), \(\overrightarrow{AK}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{AN}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BK}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите с помощью векторов, что \(MK \parallel BC\).

Так как M — середина AB, то \(\overrightarrow{AB}=2\vec a\). Так как K — середина AC, то \(\overrightarrow{AC}=2\vec b\).

а)

Поскольку N — середина BC, её радиус-вектор относительно A равен среднему радиус-векторов точек B и C:

\[\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}=\frac{2\vec a+2\vec b}{2}=\vec a+\vec b.\]

\[\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=2\vec b-2\vec a.\]

\[\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}=\vec b-2\vec a.\]

б) По правилу вычитания радиус-векторов:

\[\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=\vec b-\vec a.\]

Следовательно, \(\overrightarrow{BC}=2(\vec b-\vec a)=2\overrightarrow{MK}\). Эти векторы коллинеарны, значит, \(MK\parallel BC\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{AN}=\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{BC}=2\vec b-2\vec a\), \(\overrightarrow{BK}=\vec b-2\vec a\); б) \(MK\parallel BC\).