1. Математика. 6 класс. Вариант 1. Часть 2. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получилось 1995. Какое число задумали?

Решение:

Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — первая цифра (от 1 до 9), а \( b \) — вторая цифра (от 0 до 9).

Произведение цифр равно \( a \cdot b \).

По условию задачи: \( (10a + b) \cdot (a \cdot b) = 1995 \).

Разложим число 1995 на множители:

\( 1995 = 5 \cdot 399 = 5 \cdot 3 \cdot 133 = 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19 \).

Теперь проанализируем множители. Число \( 10a + b \) — двузначное, а \( a \cdot b \) — произведение двух цифр.

Возможные двузначные делители числа 1995:

• 15 (3 * 5). Если \( 10a + b = 15 \), то \( a=1, b=5 \). Произведение цифр \( a \cdot b = 1 \cdot 5 = 5 \). Проверим: \( 15 \cdot 5 = 75
  e 1995 \).
• 19. Если \( 10a + b = 19 \), то \( a=1, b=9 \). Произведение цифр \( a \cdot b = 1 \cdot 9 = 9 \). Проверим: \( 19 \cdot 9 = 171
  e 1995 \).
• 21 (3 * 7). Если \( 10a + b = 21 \), то \( a=2, b=1 \). Произведение цифр \( a \cdot b = 2 \cdot 1 = 2 \). Проверим: \( 21 \cdot 2 = 42
  e 1995 \).
• 35 (5 * 7). Если \( 10a + b = 35 \), то \( a=3, b=5 \). Произведение цифр \( a \cdot b = 3 \cdot 5 = 15 \). Проверим: \( 35 \cdot 15 = 525
  e 1995 \).
• 57 (3 * 19). Если \( 10a + b = 57 \), то \( a=5, b=7 \). Произведение цифр \( a \cdot b = 5 \cdot 7 = 35 \). Проверим: \( 57 \cdot 35 = 1995 \). Это подходит!
• 105 (3 * 5 * 7) — трехзначное, не подходит.
• 133 (7 * 19) — трехзначное, не подходит.
• 171 (9 * 19) — трехзначное, не подходит.
• 175 (25 * 7) — трехзначное, не подходит.
• 189 (9 * 21) — трехзначное, не подходит.
• 399 (3 * 7 * 19) — трехзначное, не подходит.

Таким образом, искомое двузначное число — 57.

Решение:

1. Пусть задуманное число равно \( N = 10a + b \), где \( a \in \{1, 2, ..., 9\} \) и \( b \in \{0, 1, ..., 9\} \).
2. Произведение его цифр равно \( P = a \cdot b \).
3. По условию: \( N \cdot P = 1995 \), то есть \( (10a + b) \cdot (a \cdot b) = 1995 \).
4. Разложим 1995 на простые множители: \( 1995 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \).
5. Рассмотрим возможные двузначные числа \( 10a + b \) как делители 1995.
6. Если \( 10a + b = 57 \), то \( a=5, b=7 \). Произведение цифр \( P = 5 \cdot 7 = 35 \). Проверяем: \( 57 \cdot 35 = 1995 \). Условие выполняется.

Ответ: 57.