1. MN - ?

Решение:

В данной задаче нам дан угол \( \angle OKN = 30^{\circ} \) и отрезок \( NK = 15 \). Треугольник \( \triangle OKN \) является прямоугольным, так как радиус \( ON \) проведён в точку касания \( N \), а значит, \( ON \perp NK \).

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

1. Найдём радиус \( ON \):

\( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{ON}{NK} \) → \( ON = NK \cdot \text{tg}(30^{\circ}) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \) (ед.).

2. Найдём отрезок \( OK \):

\( \text{cos}(30^{\circ}) = \frac{NK}{OK} \) → \( OK = \frac{NK}{\text{cos}(30^{\circ})} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \) (ед.).

3. Так как \( MK \) — касательная, то \( MK = NK = 15 \) (отрезки касательных, проведённых из одной точки \( K \) к окружности, равны).

4. Найдём \( MN \). Отрезок \( MN \) является хордой. В \( \triangle OKN \) \( ON \) — радиус. В \( \triangle O M K \) \( OM \) — радиус. \( OM = ON = 5\sqrt{3} \). \( OK = 10\sqrt{3} \).

По теореме Пифагора в \( \triangle OMK \) (где \( OM \perp MK \), так как \( OM \) — радиус, а \( MK \) — касательная):

\( MK^2 = OK^2 - OM^2 = (10\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{3})^2 = 300 - 75 = 225 \).

\( MK = \sqrt{225} = 15 \). Это подтверждает равенство отрезков касательных.

Рассмотрим \( \triangle OMK \). \( OM = 5\sqrt{3} \), \( MK = 15 \), \( OK = 10\sqrt{3} \).

Рассмотрим \( \triangle OMN \). \( OM = ON = 5\sqrt{3} \) — равнобедренный треугольник. Угол \( \angle MOK \) равен углу \( \angle NOK \).

В \( \triangle OKN \): \( \text{tg}(\angle NOK) = \frac{ON}{NK} = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Следовательно, \( \angle NOK = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle MON = 2 \cdot \angle NOK = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В равнобедренном \( \triangle OMN \) с углом \( \angle MON = 60^{\circ} \) все стороны равны. Значит, \( OM = ON = MN = 5\sqrt{3} \).

Ответ: \( MN = 5\sqrt{3} \).